保険会社での裁定で相手側が逆上したということはよくわかりました。
道路上の状況ではあなたの進行していた道路は交差点内に中央線がなく優先権がないということですね。
相手側が進行していた道路には一時停止の表示（標識）があったと。
被害状況などを考えても事故の調査裁定としては妥当な線だとおもいます。相手が自転車であろうと車両同士の事故なのですから。示談としては形式上これで良いということになるでしょう。
ですが・・・
ケガの程度云々よりも誠意を見せる（日本人同士ではとかくこれが大事です）と言うことで絆されるということもあります。ですがそれでもわずか二回だけの見舞では少なすぎるでしょう。
わたしの知人で信号待ちからの発進で同時に発進した自転車を車の側面で押してしまった（ちょっとだけ接触し、自転車は転倒し頭部を縁石で打って出血したがたいした事はなかった）だけでしたが相手側が退院するまで毎日仕事帰りにお見舞に寄ったそうです。毎日ですよ。
これくらいしてやっと相手は「誠意をみせた」と納得するのです。
相手側があなたの示談を受け入れられないということになると被害届を出す事になり裁判所で裁かれることになるとおもいます。被害金額的にみても少額ですので簡易裁判所か地裁でしょう。あなたが裁判官の判決に不服がなければ（起訴事実を認めていると言う前提で事前に検察側と弁護人側とで量刑を決める）即決裁判手続きとなって一日で終了するとおもいます。場合によっては被害者側言い分を聞く為に被害者か両親か誰かが出頭するかもしれませんし、傍聴に訪れるかもしれません。即決裁判手続きでも一応は裁判官の取調べがありますから、尋問において裁判官への心証を良くすることは心がけるべきです。交通事件ですから勾留は免れるとおもいます。
即決でない場合は一日目に結審し（この間に裁判官の取調べがあります）、一週間からひと月程度の日時をあけて二回目で判決となります。
犯罪に対しての重罰化が昨今、病的なほど叫ばれているのでこの手の微罪による裁判は最近結構多いのですよ。
ちょっとお説教じみた話になりますが、わたしは運転歴２５年以上になります。
先月大型自動車の免許をとりました。
自転車（スポーツ・バイク）も３０年来の趣味で乗りますし、オートバイの大型免許ももっています。
大型の教習時に感じたのは自家用の乗用車は事故の被害者にとっては「鉄のかたまり」であり、大型自動車などは「鉄の凶器」になるということです。
安全運転の必要性ー交通弱者（特に歩行者）、あなたにとっては被害者である自転車のことですがーは「交通弱者の保護」「弱者が絶対優先」ということです。
同じ進行中の道路上を歩行者もいれば電動の車イスに乗ったお年寄りも利用していますし、子どもの飛び出しもあるでしょうし、自転車もバイクもいます。
自分だけが安全運転をしている（法定速度は守っていたなど）ようでもそれは錯覚で、これに陥ると他者（車）への配慮がなくなります。法規上の優先権はあなたにあるのかもしれませんが、あなたの子どもがこの事故の被害者だとしたら親としてどう思われるでしょうか？
そのあたりまでも「配慮する」ことが道路利用するときに念頭に置かれているかどうかです。
わたしはこの年になって大型を取得しそのことを痛感させられました。
わたしにも小１と中２の子どもがいますが、若い時は無茶もしました。そのことが今となってはほんとうに恥ずかしくおもいます。
この事故を良い教訓だとおもってこれからは安全運転、特に目視でよく確認するということです。これを怠るとかならずひやっとしたり危うく事故になるところだったというようなことが起こります。
教習所で習った目視での左右・後方・死角確認よくおもい出して、事故に至る前に、信号がない交差点なのだから相手がよく見ずに交差点内に進入してくる”かもしれない”運転をしていれば防げた事故じゃなかったか？
そのことを復習する良い勉強だったとおもってください。
こんご相手側がどのようなかたちで対応してくるかわかりませんが、示談金を支払うと言う事を前提にあなたが誠意をみせれば相手側も裁判沙汰にしても得はないと判断するのではにかとおもいます。くどいようですが誠意もを見せてということです。とにかくケガを負わしている事実は一生消せませんから。
もし、相手側が話がわからない人であったりする場合は代理人を立てて話し合いをすることも検討されるといいでしょう。
加害者（いかに相手にケガを負わせているといっても）であっても代理人をたてることは正当な権利ですのでなにも卑屈になることはありません。
そのことを留意のうえ正々堂々と、しつこいようですがきちんとした誠意をみせて対応してください。
