まず、退職日が７／３０までであれば、資格喪失日は７／３１となりますので、社会保険の保険料の支払は６月分までです。
通常は６月分の支払だと、翌月７月に支払われる給与から差し引かれます。（会社により異なることがある）
退職日が７／３１だと資格喪失日は８／１となり、７／３１の時点では加入者であることから７月分まで社会保険料の支払が必要です。この場合は通常は翌月の８月にもらう給料から差し引かれます（先ほどと同じように翌月支払給与からの差し引かれる）。ただ、７／３１の退職時に７月分給与も受け取ってしまうのであれば、８月に差し引かれる予定の分もそのときに差し引かれるでしょう。
年金については退職後すぐに国民年金１号被保険者の種別変更手続きをします。
（すでに厚生年金経由で国民年金には加入していますので、種別変更手続きとなります）
保険料の納付期限は国民年金は翌月末です。
つまり社会保険の資格喪失日が７／３１の場合には種別変更も７／３１となりますので、７／３１は国民年金保険料がかかりますから、これは８／３１が納付期限です。
８／１が資格喪失日の場合には８／１から国民年金保険料が発生するので、これは翌月の９月末日が納付期限です。
ただ国民年金保険料は納付期限から２年間は延滞金なしで支払ができるものなので、少々納付期限が遅れても問題はありません。とはいえそれまでの加入すべき期間に不足があったりすると、障害年金等の保障が切れてしまう場合もあるので、なるべくそれは避けた方が懸命です。
国民健康保険もやはり国民年金加入のときに同時に加入します。
こちらも加入する日は先に延べた資格喪失日からの加入になります。
必要書類として、「資格喪失証明書」というものをもらってください。
離職票で代用できることもありますが、正式にはこの書類になります。
こちらも保険料は加入した日の属する月からの支払になります。
ただ支払期限については自治体ごとに多少ことなっていますので、確認しないとわかりません。
あと、健康保険については、これまで加入してきた健康保険の任意継続という方法もあります。こちらは退職後２０日以内に、勤務していたところ、あるいは直接健康保険の保険者に手続きします。
国民健康保険にするのか任意継続にするのかは、通常は保険料の安いほうに入ることが多いです。
ただ、ご質問者が再就職する予定がある場合には、ひとつ注意してほしいのは、任意継続で加入した月とその後再就職で任意継続をやめるつきが同一の月にならないようにしてください。そうなってしまう場合には国民健康保険に入ってください。
そうしないと同月得喪といい、例外的に月末加入していなくても保険料支払が必要になり、その月には２重に保険料がかかりますので。
