現住所（引っ越す前）から引越し先の住所への住民票の異動の方法と時期ということですよね？
まず引越し先の部屋に確実に入居できると決まってから住民票の異動手続きに入るのが一般的だと思います。
住民票やそのほかたぶん保証人の書類などもこれから不動産屋に提出するんですよね？その内容を大家さん等がみて問題がなければ入居可という連絡が来て入居についての契約を取り交わすことになるのでそれが済んでから住民票の異動の手続きに入ります。
まず現住所のある役所（都内だと近所に住民票の異動手続きのできる出張所などもあるはずです）にいき窓口で引越すので住民票をうつしたいと相談すれば転出のための書類の書き方を教えてくれます。
住民票をうつす日（引っ越す日）のらんはあくまで予定日でかまいません。
本人確認のため免許証等も必要だと思いますので事前にできれば必要なものなどを電話で役所の担当者に聞いていたほうが無駄足にはならないかと。役所のHPでも手続きについて説明が書かれていることもあります。
そのあと新しい引越し先の役所に必要書類も持っていき今度は転入のための書類をその場で記入し窓口に出せば住民票の異動手続きは完成です。
新しい住所の住民票がほしければその場でとることができます。
同じ町内や区内での引越しの場合は住民票の異動手続きはもっと簡単に済んだような気がするのでやはりその場合も電話などで担当者に事前に聞いておくとよいと思います。
住民票の異動手続きを完全にすませてしまうと引っ越す前の住所での住民票はもう取れなくなってしまうので手続きをするタイミングは気をつけられたほうがいいかと思います。
補足
因みに転入出届けは異動しなくても(住民票は異動しなくても)大丈夫なのでしょうか。