Prewittオペレータ、Sobelオペレータを施したときのエッジの強さとその強度について

質問

Prewittオペレータ、Sobelオペレータを施したとき、エッジの強さとその強度を求めるにはどうしたらいいのでしょうか？例えば、
15 17 19
10 17 21
3 6 2
のような3×3の画像に対して施した場合、どのようになるのでしょうか？回答お願いします。

回答No.1

noocyte

> エッジの強さとその強度

強さと方向では？

下図のように，θ方向 (エッジの法線方向) にだけ輝度値 Z(x, y) が増加する画像を考える．

┌────→Ｘ
│＼　θ
│　　＼
│　　　　＼
│　　　　　　Ｕ
↓
Ｙ

θ方向に座標軸Ｕを，これを90°右回転した方向にＶ軸をとると，

x ＝ cosθ * u － sinθ * v
y ＝ sinθ * u ＋ cosθ * v

u ＝ cosθ * x ＋ sinθ * y
v ＝ -sinθ * x ＋ cosθ * y

輝度値 Z(x, y) はＵ方向に変化し，Ｖ方向には変化しないので Z(u) と書ける．
そのエッジ強度 (勾配の大きさ) は dZ/du．

輝度勾配のＸおよびＹ方向の成分は，

∂Z/∂x ＝ (∂Z/∂u)(∂u/∂x) ＋ (∂Z/∂v)(∂v/∂x)
　　　　＝ (dZ/du) * cosθ

∂Z/∂y ＝ (∂Z/∂u)(∂u/∂y) ＋ (∂Z/∂v)(∂v/∂y)
　　　　＝ (dZ/du) * sinθ

これらはつまり Prewitt/Sobel フィルタで抽出したＸ方向，Ｙ方向のエッジ強度
Δx，Δy なので，

Δx ＝ (dZ/du) * cosθ
Δy ＝ (dZ/du) * sinθ

したがってエッジの強度および法線方向 (輝度が増加する方向) は

dZ/du ＝ √((Δx)^2 ＋ (Δy)^2)
θ ＝ atan2(Δy, Δx) (単位：ラジアン)

質問の３×３画像の中心画素でのエッジ強度は，

・Prewitt の場合
　Δx ＝ (19 + 21 + 2) - (15 + 10 + 3) ＝ 14
　Δy ＝ (3 + 6 + 2) - (15 + 17 + 19) ＝ -40
dZ/du ＝ √(14^2 + (-40)^2) ≒ 42.4
θ ＝ atan2(-40, 14) ≒ -70.7°
　したがってエッジ方向は -70.7°+ 90°＝ 19.3°(または 199.3°)．

・Sobel の場合
　Δx ＝ (19 + 21 * 2 + 2) - (15 + 10 * 2 + 3) ＝ 25
　Δy ＝ (3 + 6 * 2 + 2) - (15 + 17 * 2 + 19) ＝ -51
dZ/du ＝ √(25^2 + (-51)^2) ≒ 56.8
θ ＝ atan2(-51, 25) ≒ -63.9°
　したがってエッジ方向は -63.9°+ 90°＝ 26.1°(または 206.1°)．