国保加入の手続きについては、役所の国保係に問い合わせてみましょう。
書類としては、直前に加入していた健康保険の資格喪失証明書（いつ、どこの健康保険を資格喪失したかが確認できる書類）が必要です。
さて、診療についてですが。
原則を言えば、一旦治療費10割分全額を支払わなければならないことになります。
健康保険で治療を受けるには、被保険者証を医療機関に提示することが被保険者には義務づけられていますから。
医療機関側としても、どこの保険に加入しているかわからない、ましてや加入しているかどうかもわからない人に対して保険診療はできません。あとで7割分回収できる保証がありませんからね。
では、最終的に10割分支払ったままになるのかというと、「療養費」として国保に申請することで7割分をあとから給付してくれる制度があります。
申請には支払った金額の領収書が必要ですが、保険者によってはレセプト（診療報酬明細書）の提出を求めるところもあると思います。（診療内容がきちんと把握できる必要があるので）
被保険者証を持っていない場合は、一旦10割分を窓口で支払って、あとで療養費の申請をして7割分を給付してもらう、というのが法律に基づいた手順になります。
「後日保険証持ってきてくださいね」というのは、良く知っている患者さんとかで信用できる場合でなければできないのではないでしょうか。
或いは健康保険が変更される時ではなく、たまたま被保険者証を忘れた場合になるでしょう。
ただ注意しなければならないのは、国保の加入手続きは、資格が発生する日＝前の健康保険の資格がなくなった日（社会保険であれば、退職の翌日など）から14日以内に行わなければならないという点です。
それを超過しての届け出の場合、保険料（税）は資格の発生した日の分まで遡って徴収されるけれど、給付は届け出た日からしか行われないということがあります。
例えば、資格取得日（加入する日）が2月1日で、届け出が4月1日だったら、2月、3月の2カ月間は丸々何の給付も受けられないということになる訳です。
上のように10割分支払って受診していたら、それはすべて自己負担になります。ですが、保険料は2月分から支払わなければなりません。
これは法律に基づいた取り扱いで決して不当な取り扱いではないのですが、知らなければとんでもない不利益を被ることがあります。
実際にそういう取り扱いが行われている所がありますので、質問者様がいつから国保に加入しなければならないかはわかりませんが、できれば先に国保加入の手続きをして被保険者証を手に入れ、それから受診されることをお勧めします。
参考URLは社会保険庁の療養費に関する説明です。ご参照ください。
お礼
皆さんの回答大変助かりました。ありがとうございます。