ヨーロッパの昔の風呂は蒸し風呂で、ローマ風呂と一般に呼ばれるものです。
昔はギリシャやトルコの区別はなく、地中海地方の風呂はほとんどこのローマ風呂だったんですね。もちろん各家庭には風呂はなく、公衆浴場に行くわけです。
イタリアは西洋の影響で早くから家庭でシャワーを浴びるようになったのに対し、トルコは近代に入っても大衆浴場(蒸し風呂)が残っていたんですね。
戦後、このアイデアを誰かが日本に輸入して、蒸し風呂のことを勝手にトルコ風呂と呼び始めたらしいです。
で、No.1の回答にあるように結局は売春の場になってしまいました。
それから、No3,4の回答にあるように、トルコ人から苦情が出て、この業界が自主的に名称を変えたんです。トルコという名前を日本に普及させたとして評価する人もいたし、トルコ風呂=トルコのイメージとはなっていなかったので、そのままでもよかったのでしょうが、やっぱり失礼かなということであっさりソープランドになってしまいました。
「トルコ嬢」「トルコに行く」も死語になってしまいましたね。