>いきなり、挨拶をしても大丈夫ですか?
挨拶に勇気を必要とされているぐらいですから、大丈夫ではありません。
>余計に、距離を置かれたりしませんか?
それは、分かりません。その子が考えて行動することは、彼女自身にまかせましょう。君の不安(裏返せば期待)とその子の行動を結び付けて考えないようにしましょう。むしろそのような不安を自分の行動に結び付けて考えれば、いきなり挨拶するなどということはできないはずです。
>挨拶をする勇気をください。
挨拶すべき人に挨拶する習慣をつけて、挨拶に自信を持ちましょう。そして、誰にでも挨拶できるようになったときには、「いきなりの挨拶」も「たまたまの挨拶」に思えるでしょう。
それでも見知らぬ他人に声かけするときには、それなりの縁というものがなければだめでしょう。それがなければ、自然に近づけるような機会を期待せずに待つしかありません。
ただ、私にもちょうど同じ頃、告白したという体験がありますので、するなとはいえません。いきなりの挨拶がその子に重大な危害を加えるとは考えられないのなら、蛮勇を奮って、だめもとでやってみて、そこから学ばれるのもよいかもしれません。不安というものがどういうものかよく分かるでしょう。