現実問題としてはご質問のような「お金を渡したりしないと」ということはありません。
国立に限らず公立病院では、医師への金銭の謝礼だけでなく、例えばお菓子類を渡そうとしても断られます。
教授が執刀をするケースは次があります。
１．教授が得意分野としているもの。
２．希な症例や新たな治療法が適応の場合。
３．他病院から、直接教授宛に紹介された場合。
（もちろんこの場合も単なる紹介状ではなく、その教授と面識があったり交流がある病院からの紹介状です。
それ以外の場合は１、２でなければ一旦は紹介状に目を通すでしょうが、
その先は他の医師に回し、経過だけ聞いて報告という形になります。）
というような場合であれば直接教授が執刀することはありますが、
逆にごく一般的な症例で、紹介状無しの場合などは、１回程度の診察はあるかもしれませんが、
こういった症例では教授が執刀するケースはあまりないと思います。
というのは実は大学教授というのはかなり忙しく、実際に診療に当たれるのは１週間のうちで１日程度であることも珍しくありません。
他の日は「研究」、「教育」等があり、さらに教授には「教授会」やその他の会議や委員会があり、
さらには大学外での講演会などを多く抱えています。
