ムーンライト九州を使う方法は#7さんが詳しく解説しているので私はもう一つの方法について解説しましょう。
博多(8:46)~小倉(10:01/10:14)~下関(10:28/10:31)~新山口(11:37/11:48)~三原(15:27/15:43)~相生(18:25/18:35)~米原(21:20/21:24)~大垣(22:05)
と乗り継ぎ23:19分発のムーンライトながらで東京まで行くと5時ちょっと前くらいに着けます。
ムーライトながらに関しても全車指定席なので指定券を入手する必要があります。しかし、ながらはかなり人気があるので入手するには激戦を制さなければいけません。そこで一つアドバイス。指定券を指定するときはあえて大垣~熱海間にしてください。東京までの指定券もありますが3両分と大変な激戦が予想されるからです。もちろん上記の券では熱海以遠自由席になってしまいますがそもそも始発から座ってしまっているので席を離れるときは荷物を置いておくなどすれば大丈夫でしょう。
あと、万が一指定券が取れなくてもあきらめないでください。12/23~1/4までは臨時が出ます。発車は23時ちょうどとなります。
それと、お盆年末年始の時期となりますと、かなりの混雑となります。特に30万人も動員すると言われている有明のコミックマーケットの開催日(12月下旬)には早々と満席になります。
あと、一般的に金・土曜始発は通常より混雑します。逆に日・月曜始発はすいています。
以上のことを踏まえて日程調整が可能ならその日を避けて購入するという手もあるでしょう。
以上、参考になれば幸いです。