再就職先での厚生年金は７０歳の誕生月前迄加入が義務となります。
また、厚生年金の受給権が無い場合（国民年金被保険者期間300ヶ月未満＆厚生年金加入期間240ヶ月未満）の場合は７０歳を超えて（雇用され）任意加入できます。
但し70歳以上の労使折半も任意なので会社が払ってくれない場合は自分で全額払わなければいけません。
昔は第四種被保険者というのがあり会社を辞めても厚生年金に加入しつづけることが出来たそうですが今は撤廃されて出来ません。
御父様は現時点で、国民年金（老齢基礎年金）及び厚生年金（老齢厚生年金）の受給権はありますか？
６０歳後の厚生年金加入は過去の国民年金の免除期間や未納期間がある場合、穴埋めする事になりますが、厚生年金の加入期間にも上限はある為、４０年間以上、被保険者としてまっとうしていれば年金額は変わらない可能性のほうが高いです。また、現在６０ということですから特老高（特別老齢厚生年金）対象者ですね。
６０歳から報酬比例部、６３，４ぐらいから定額部（今で言う基礎年金）が給付されます。
但し、報酬比例部は高在老（高齢者在職年金）と言って標準報酬月額（支給額相当）によって一部から全額停止になります。
お礼
回答ありがとうございます。 正確にはどの部分かわかりませんが、受給資格はあると思います。