年平均利回りについて教えてください

質問

毎月10,965円を15年間積み立て、積み立て終了の3年後に2,218,550円を受け取れる金融商品があります。
この年平均利回りの計算方法を教えていただけませんでしょうか。

回答No.4

mamachari · ベストアンサー

No.3の計算を計算式で表せば、EXCELを使わなくても計算できます。

毎月の積み立て額をｐ、月利率をｘ（注:1%→0.01）、
ｎ月目の積み立て総額をS(n)とすると、

１月目：S(1)=p
２月目：S(2)=p+S(1)*(1+x) =p+p*(1+x)
３月目：S(3)=p+S(2)*(1+x) =p+p*(1+x)+p*(1+x)^2
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Ｎ月目：S(N)=p+p*(1+x)+p*(1+x)^2+…+p*(1+x)^(N-1)

ところで、1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)＝(x^n-1)/(x-1)ですので、Ｎ月目の積み立て総額S(N)は、

　S(N) = p*((1+x)^N-1)/x　・・・(1)

となります。
後は、Nに180、pに10965を代入して、S(N)=2218550となるようにxを調整すれば……って、EXCELがいるがな。ヾ(^^;;;

おまけ
　月利率ｘが１より十分小さいとき、近似式で解くことはできます。
xが１より十分小さいとき、(1+x)^nは２次のテーラー展開で(1+x)^n≒1+N*x+N*(N-1)/2*x^2と近似できるので、これを式(1)に代入すると

　S(N) = p*((1+x)^N-1)/x
≒ p*(1+x*N+x^2*N*(N-1)/2-1)/x = p*(N+N*(N-1)/2*x)

ここで、N=180,p=10965,S(N)=2218550を代入すると、

　2218550 = 10965*(180+180*179/2*x)
　x = (2218850-10965*180)/(10965*180*179/2) ≒0.0013861

よって、月利率は0.13861%、年平均利回りで1.66332%になります。
なお、３次のテーラー展開で近似すればより精度がよくなります。式(1)を３次のテーラー展開で近似すると、

　S(N)≒p*(N+N*(N-1)/2*x+N*(N-1)*(N-2)/6*x^2)

とxの２次方程式となり、この方程式を解くと年平均利回りx*12≒1.54526%とNo.3に近い値を得られます。

お礼

ありがとうございました。
高度な数学の知識が必要なようですね。
勉強になりました。

回答No.6

noname#11476

＃５です。
ちなみに蛇足ですが、

年利Ｒ（年利回りではない）で毎月定額を積み立てた場合の計算をエクセルで行う場合は、

=FV(年利Ｒ／１２ヶ月，１５年間×１２ヶ月，毎月積立額）

で計算できます。積立完了からの３年間は、（１＋Ｒ）＾（３年）　倍すればよいです。

最後の積立完了後の３年間がない場合はRATE関数で算出できますが、今回はＲをセルに入れて式を作り、Ｒを調整する作業が必要でしょうね。

お礼

ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.5

noname#11476

まず求めたいのは年利ではなく「年平均利回り」ですよね？

年平均利回りは概算でよければ以下のように簡単に求められます。

まず払い込み総額を出します。毎月１０９６５円を１５年間なので総額１９７３７００円です。
受け取り金額は２２１８５５０円ですから、利息は２４４８５０円です。
戻り率は１１２．４％（＝２２１８５５０／１９７３７００）ですね。

さて、合計１８年間の利息は、元金の１２．４％であることはわかると思います。
つまり１８年で１２．４％です。

これを一年単位にすれば年平均利回りが得られます。
一度に１９７３７００円を預けて１８年経過したのであれば、単純に１２．４％／１８年とすれば年平均利回りが出ますが、今回の場合当初１５年は定額をつみたてていく形なので少し工夫が必要です。
この定額積み立ての場合は簡単に、

１２．４％／（１５年／２＋３年）＝１．１８％

と、積み立て部分の年数を１／２すればよいです。（厳密な数字はもう少し異なりますが、概算はこれで良いです）
ちなみに年利回りではなく年利を求めたい場合にはまず投資するものが複利計算されるものなのか否か、複利計算されるものであれば年単位なのか半年複利なのかなどの諸条件が必要になるので簡単ではありません。

ただ投資する商品の価値を知りたい場合には年平均利回りさえわかればよいから中身を考える必要はないです。

回答No.3

harukabcde

＃１

私の計算方法です。

1月目 10,965入金
2月目 10,965入金+1月目の残高(10,965)に1か月分の利息付与
3月目 10,965入金+2月目の残高に1か月分の利息付与
4月目 10,965入金+3月目の残高に1か月分の利息付与
・
・
・
・
180月目 10,965入金+179月目の残高に1か月分の利息付与

・利息は1月後から付与
・計算は1月前の残高*年利率（利回り）/12
・180月目の元利合計額が2,218,550円になるように
年利率のセルを微調整
その結果
1.53922％
となりました。

申し訳ない。
>積み立て終了の3年後に
読み飛ばしていました。
ですので、実際には、もう少し下がりますね。

お礼

ありがとうございました。
できればそのexcelファイルをいただけると嬉しいのですが・・・可能ですか？

回答No.2

countrymama

計算方法をお知りになりたいということは利回りは解っていらっしゃるのでしょうか？
私の自信のない計算方法でしたらだいたい１．６４％前後と出ました・・・
積み立て終了後３年間の据え置き期間のお利息計算方法は解りませんのでそれを抜きにして考えました（単に１５年間だけの利回りです）
３年置くということは実際にはもう少し低い金利になるのでしょうね・・・
なんとも頼りなくて申し訳ないです（＾＾；
どなたか詳しい方の回答を期待します。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

harukabcde

計算方法は分かりませんが、
エクセルで地道に算出したら
1.53922％
と出ました。

これには源泉が掛からないので、
預金金利と比較したら1.924％ですので、
結構いい利回りと言えます。

お礼

ありがとうございました。
源泉税のことは頭にありませんでしたが、おそらくかからないと思います。