結論を言えば、「日本のパスポートを使う」です。
以下、補足です。
世界のほとんどの国では婚姻に伴い配偶者の国籍を自動的に取得することはありません。また、国籍が無い者に対してパスポートが発給されることはありません。永住権があってもパスポートは発給されません。
アメリカと日本に限れば、質問者の状況でアメリカのパスポートを近々に取得することはありません。よって、出入国には日本のパスポートしかありませんので、当然それを使うことになります。
また、国籍は本籍と異なり、通常、異動するものではありませんので、置いていく、持って行くという概念のものではありません。
今後アメリカの国籍を得て、アメリカのパスポートも持つようになると、ご質問の通り、「どちらを使うのか」ということになります。その場合、アメリカ出入国にはアメリカのパスポートを、日本出入国には日本のパスポートを使うことになります。
アメリカの国籍を得る＝自己の志望により他国の国籍を得るですから、国籍法の定めによりアメリカ国籍取得後２年以内にどちらかの国籍を選択することになります。
日本の国籍を離脱する場合には、国籍離脱届を提出することになります（日本国籍しか持っていない者は、日本国籍は離脱できません）。私は個人的には二重国籍容認論者ですが、そういう法律になっていることをお忘れなく。黙っていればバレない、という方もいますが、在外日本公館でパスポートの更新をする際、バレることは多々ありますし、その場合には日本の国籍を失います。
