[Q] Let V,W be finite dimensional vector spaces over the same field.
{x1,x2,…,xn} is a basis for V
Tx1=y1∈W,…,Txn=yn∈W then you can define∀x∈V
x=c1x1+c2x2+…+cnxn
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn
(1) Show that this function is well defined.
(2) Show that this funciton is closed under scalar multiplication.
という問題で質問があります。この問題の意味は下記の通りだと思います。
"well definedである事示せ"とは具体的にどうすればいいのかわかりません。
[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。線形写像Tに於いて、
T(xi)=yi∈W (i=1,2,…,n) …(1)、
そして、∀x∈Vに対して,
x=c1x1+c2x2+…+cnxn …(2)
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn …(3)と定義すれば
(1) この写像がwell definedである事を示せ。
(2) この写像がスカラー倍に対して閉じている事を示せ。
[(1)の証]
T(x)=T(Σ[i=1..n]cixi) (∵(2))
=Σ[i=1..n](ciyi) (∵(3))
=Σ[i=1..n]ciT(xi) (∵(1))
これからα,β∈Fとすると
T(αx+βy)=αT(x)+βT(y) …(4)が成立している事も表している事が分かる。即ち、Tは線形写像。
よって,この定義は妥当である。
[(2)の証]
∀c∈F,∀x∈V,T(cx)=cT(x)∈Wとなる事を示せばよい。
0をVの零ベクトルとすると
T(0)=T(Σ[i=1..n]0・xi)=Σ[i=1..n]0・yi (∵(1),(2),(3))=0 …(5).
y:=0と採ると,(4)からT(cx)=cT(x) (∵(5)) を満たす。
従って、Tはスカラー倍に対して閉じている。
という風に解いたのですがこれで正解でしょうか?
