原子核が原点に位置する，電子数 Z 個の原子と，光との相互作用を表すハミルトニアンを考えているのですが，ミニマル結合ハミルトニアンのユニタリー変換の過程が良く分かりません．教えていただけないでしょうか？
ミニマル結合ハミルトニアンを
H' = (1/2m) Σ_{j} { p_{j}+ e A (r_{j}) }^{2}
+ (1/2) ∫σ(r) φ(r) dr
+ (1/2) (εE^{2} + (1/μ)B^{2})
とします．ややこしい式ですが，右辺第 1 項にだけ注目するので，説明は控えさせて下さい．
このハミルトニアンに対し
U = exp {- (ie/h~) Σ_{j} ∫_{0}^{1} r_{j}・A (λ r_{j}) dλ}
= exp {- (ie/h~) Σ_{j} B (r_{j})}
なるユニタリー演算子を用いて H = U^{-1} H' U というユニタリー変換を考えます．
ただし，h~ = h/2π であり，また ∫ の積分範囲は 0 から 1 まで．また r_{j} は電子の座標です．A (r) はベクトルポテンシャル演算子です．B は，A の積分表記が複雑なので置き換えただけの演算子です．また p_{j} = p = - ih~ ∇_{j} は運動量演算子です．
H' の右辺第一項に対しユニタリー変換を行うと
U~{-1} { p + e A (r_{j}) } U = p - e ∇_{j} B + e A (r_{j})
となるらしいのですが，なぜこうなるのかが分かりません．具体的には，U^{-1} e A U = e A となるのは分かるのですが，U^{-1} p U = p - e ∇ B となるのが，なぜだか分かりません．
どなたか，ご教授いただけないでしょうか？
原子核が原点に位置する，電子数 Z 個の原子と，光との相互作用を表すハミルトニアンを考えているのですが，ミニマル結合ハミルトニアンのユニタリー変換の過程が良く分かりません．教えていただけないでしょうか？
ミニマル結合ハミルトニアンを
H' = (1/2m) Σ_{j} { p_{j}+ e A (r_{j}) }^{2}
+ (1/2) ∫σ(r) φ(r) dr
+ (1/2) (εE^{2} + (1/μ)B^{2})
とします．ややこしい式ですが，右辺第 1 項にだけ注目するので，説明は控えさせて下さい．
このハミルトニアンに対し
U = exp {- (ie/h~) Σ_{j} ∫_{0}^{1} r_{j}・A (λ r_{j}) dλ}
= exp {- (ie/h~) Σ_{j} B (r_{j})}
なるユニタリー演算子を用いて H = U^{-1} H' U というユニタリー変換を考えます．
ただし，h~ = h/2π であり，また ∫ の積分範囲は 0 から 1 まで．また r_{j} は電子の座標です．A (r) はベクトルポテンシャル演算子です．B は，A の積分表記が複雑なので置き換えただけの演算子です．また p_{j} = p = - ih~ ∇_{j} は運動量演算子です．
H' の右辺第一項に対しユニタリー変換を行うと
U~{-1} { p + e A (r_{j}) } U = p - e ∇_{j} B + e A (r_{j})
となるらしいのですが，なぜこうなるのかが分かりません．具体的には，U^{-1} e A U = e A となるのは分かるのですが，U^{-1} p U = p - e ∇ B となるのが，なぜだか分かりません．
どなたか，ご教授いただけないでしょうか？
