de_Raemon の回答履歴

(1) 『写像f:A→Bとg:B→Cについて、fとgとの合成写像はfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致するときに限って定義される』(集合位相入門/松坂和夫) これについて、 f:A→Bとg:C→Dで f(A)⊂BかつB⊂Cならば べつにfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致しなくても良いと思ったのですが、違うのでしょうか？ (2) 『対応(≠写像)F,GがいずれもAからBへの対応であって∀a∈AでF(a)＝G(a)の時FとGは等しい。2つの対応の相等を論じ得る為には、もちろんそれらの始集合,終集合がそれぞれ一致していることが前提である』(集合・位相入門/松坂和夫) これについても似たようなことなんですが、FがAからBへの対応,GがAからCへの対応であり,さらに任意のAの元aについてF(a)＝G(a)という時は,別にB＝CでなくともC⊂BとかB⊂Cのときも対応FとGは等しいと言えませんか？ 私は,始集合が一致していることとF(a)＝G(a)が成り立っていること つまり始集合と値域が一致していれば、この2つの対応は等しいとは言えると思ってました。 具体的には 対応F:A→B対応G:A→Cとする。ここでは、B⊂Cとしても一般性は失われない。 さて、今が任意Aの元aについてF(a)＝G(a)が成り立っているとする。 これはF(A)＝G(A)ということ。 ここでF(A)＝G(A)⊂B⊂C⊆Dなる集合Dをとれば対応FとGはともにAからDへの対応とも言える。 すると、定義から対応FとGは等しい。 これではダメでしょうか？ 始集合と終集合に関する記述はどうも混乱します… (1)(2)についてどなたか分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(__)m

(1) 『写像f:A→Bとg:B→Cについて、fとgとの合成写像はfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致するときに限って定義される』(集合位相入門/松坂和夫) これについて、 f:A→Bとg:C→Dで f(A)⊂BかつB⊂Cならば べつにfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致しなくても良いと思ったのですが、違うのでしょうか？ (2) 『対応(≠写像)F,GがいずれもAからBへの対応であって∀a∈AでF(a)＝G(a)の時FとGは等しい。2つの対応の相等を論じ得る為には、もちろんそれらの始集合,終集合がそれぞれ一致していることが前提である』(集合・位相入門/松坂和夫) これについても似たようなことなんですが、FがAからBへの対応,GがAからCへの対応であり,さらに任意のAの元aについてF(a)＝G(a)という時は,別にB＝CでなくともC⊂BとかB⊂Cのときも対応FとGは等しいと言えませんか？ 私は,始集合が一致していることとF(a)＝G(a)が成り立っていること つまり始集合と値域が一致していれば、この2つの対応は等しいとは言えると思ってました。 具体的には 対応F:A→B対応G:A→Cとする。ここでは、B⊂Cとしても一般性は失われない。 さて、今が任意Aの元aについてF(a)＝G(a)が成り立っているとする。 これはF(A)＝G(A)ということ。 ここでF(A)＝G(A)⊂B⊂C⊆Dなる集合Dをとれば対応FとGはともにAからDへの対応とも言える。 すると、定義から対応FとGは等しい。 これではダメでしょうか？ 始集合と終集合に関する記述はどうも混乱します… (1)(2)についてどなたか分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(__)m

子供の頃に読んだ絵本を探しています。 計20冊くらいに及ぶシリーズ本ですが ピンク色の背（本棚に立てたとき見える部分）のものが10冊 水色の背のものが10冊 それぞれボックスに入っていました。 表紙・背表紙は白ベースで中央に絵が入っていました。 ピンクシリーズは女の子向けの内容。 確か主人公の名前はマロレーヌだかマドリーヌだかそんな感じ だったと思います。 フレンチトーストを焼く話と 海へ行って貝殻の音を聞く話は覚えています。 ブルーシリーズは男の子向け、 主人公男の子、おそらく名前は ピーターかペーターだったような。 ツリーハウスを作る話を覚えています。 絵柄はペーター佐藤の描く様なリアルなタッチ。 自然の中で遊ぶ子供たちの様子が生き生きと描かれています。 これだけのヒントがあっても探せません。。 もしこのシリーズの絵本にお心当たりのある方は 作者、出版社、本の題名一冊分 なんでも構いませんので教えていただければ幸いです。

複素数列 { a(n) } と { b(n) } について、 Σ[n=1→∞] | a(n) |^2 と Σ[n=1→∞] | b(n) |^2 が共に収束するならば、 Σ[n=1→∞] | a(n) + b(n) |^2 も収束する ことが示せるでしょうか？　…(*) 別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html を見ていて、 気になった問題です。 (*) が言えるならば、 Σ[n=1→∞] | x(n) |^2 が収束するような数列 { x(n) } 全体のなす集合 が、 数列の自然な和と定数倍に関して ユニタリ空間になるように思います。 この空間上の線型写像 T: { x(n) } → { y(n) },　y(0)=0,　y(n+1)=x(n) は、 ベクトルの長さを変えないが、全射ではない実例となります。 「ベクトルの長さを変えないのでTはユニタリ変換」と言えるのでしょうか？ (*) の証明または反例が示せる方、宜しくお願いします。

次の二次形式を標準形に変形し、符号を求めよ。 (1)Ｆ(x,y,z,u)=xy+xz+xu+yz+yu+zu (2)Ｆ(x,y,z,u)=x^2+4y^2+4z^2-u^2+2xy-2xz+2xu+4yz+2yu この問題なのですが、うまく変形できません。 (何度もやってみたのですが、(1)すらできないので、 (1)は固有値を直接求めて、符号(1,2)を得ました。) なにかコツがあるのでしょうか？ 回答よろしくお願いします。

次の二次形式を標準形に変形し、符号を求めよ。 (1)Ｆ(x,y,z,u)=xy+xz+xu+yz+yu+zu (2)Ｆ(x,y,z,u)=x^2+4y^2+4z^2-u^2+2xy-2xz+2xu+4yz+2yu この問題なのですが、うまく変形できません。 (何度もやってみたのですが、(1)すらできないので、 (1)は固有値を直接求めて、符号(1,2)を得ました。) なにかコツがあるのでしょうか？ 回答よろしくお願いします。

ｎ個の変数x_1,・・・x_nに関する実係数の斉二次式を二次形式という。任意の二次形式はx_ix_jの係数をa_ijとおくと Ｆ(x_1,・・・,x_n)=Σa_ijx_ix_jと書ける。 今、a_iiは一意的に決まるが、ここでa_ij=a_jiとすればa_ijも一意的に決まる。係数行列Ａ=(a_ij)を二次形式Ｆの行列という。Ａは実対称行列。 x=(x_1,x_2,・・・x_n)とすれば 容易にわかるように、Ｆ(x_1,・・・,x_n)=Ｆ(x)=t^xAxとできる。 これをＦ(x)=Ａ[x]と書くことにする。 二次形式Ｆ(x)=Ａ[x]に対し、適当な直交行列Ｐをとって、x=Pyとすれば Ｆ(x)=Ｇ(y)=α_1(y_1)^2+_α2(y_2)^2+・・・+α_n(y_n)^2 とできる。ただし、α_iはＡの重複もこめた固有値である。 さらに α_1,・・・α_p＞０　 α_p+1,・・・,α_q＜０ α_q+1,＝・・・＝α_n＝０ とできる。p+qはＡの階数である。 さらに、変数の正則線形変換 y_i=z_i/√α_i(1≦i≦p)　 ｙ_j=z_j/√-α_j (p+1≦j≦p+q) を行えば Ｆ(x)=(z_1)^2+・・・+(z_p)^2-(z_p+1)^2-・・・-(z_p+q)^2 となる。これを二次形式Ｆ(x)の標準形という。 また、p,qの組(p,q)を二次形式Ｆ(x)=Ａ[x]の"符号"という (pはＡの正の固有値の数、qは負の固有値の数である) 符号の判定として、次に例示する"ラグランジュの方法"がある。 (例1) F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+4xy+4yz =(x+2y)^2+y^2-5z^2+4yz =(x+2z)^2+(y+2z)^2-(3z)^2 よって符号は(2,1)である。 (例２) Ｆ(x,y,z)=2xy+2yz 平方項がないから、x'=x+y , y'=x-yとすれば Ｆ(x,y,z)=(x'^2/2)-(y'^2/2)+(x'-y')z ={(x'+z)^2}/2-(y'^2/2)-y'z-z^2/2 ={(x'+z)^2}/2={(y'+z)^2}/2 ={(x+y+z)^2}/2-{(x-y+z)^2}/2 よって符号は(1,1)である。 ・・・・と(線形代数入門/斎藤正彦に)書いてあるんですが、ここで言う"ラグランジュの方法"とは何なのかがまったくわからずに困っています。 いったいラグランジュの方法とは何なのでしょうか？ この例って、私には単に上手く変形してるだけにしか見えないのですが・・。 私はラグランジュと名のつくものは、微積分の教科書で学習したラグランジュの未定乗数法くらいしか聞いたことがないのですが・・・まさかそのことではないですよね？ 仮にそうだとしても、どのように未定乗数法を適用してるかもさっぱりです。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m かなり困ってます・・。

ＴがＶの正規変換であるとき Ｔの相異なる固有値全部をβ_1,β_2,・・・,β_kとし 対応する固有空間をＷ_1,Ｗ_2,・・・,Ｗ_kとする Ｗ_iへの射影子をＰ_iとすれば Ｐ_1+Ｐ_2+・・・+Ｐ_k=I Ｐ_iＰ_j=0 (i≠j) Ｔ=β_1Ｐ_1+β_2Ｐ_2+・・・+β_kＰ_k が成立する。これを正規変換Ｔのスペクトル分解という。 スペクトル分解は一意的である。 実際、射影子Ｐ'_1,Ｐ'_2,・・・,Ｐ'_kによるもうひとつのスペクトル分解 Ｐ'_1+Ｐ'_2+・・・+Ｐ'_k=I Ｐ'_iＰ'_j=0 (i≠j) Ｔ=β_1Ｐ'_1+β_2Ｐ'_2+・・・+β_kＰ'_k があったとしよう。 Ｐ_i,Ｐ'_iがそれぞれ部分空間Ｗ_iＷ'_iへの射影子であるとすれば ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであるから Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i ("逆"の証明は略) と教科書にあったのですが、最後、なぜＷ_i＝Ｗ'_iが言えるのかがわかりません。 ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであることを用いてＷ_i⊂Ｗ'_iかつＷ_i⊃Ｗ'_iを示せるのですか？ Ｗ_i⊃Ｗ'_iのほうに関しては x'_i∈Ｗ'_iとすると Ｔ(x'_i)=β_i(x'_i)であるから、x'_iはＴの固有値β_iに対する固有空間Ｗ_iの固有ベクトルであるといえる。よってx'_i∈Ｗ_i つまりＷ_i⊃Ｗ'_iである。 とできるかな？とは思ったのですが、もう一つが・・・。 Ｗ_i⊃Ｗ'_iであることとＶが直和であることを用いてＷ_i=Ｗ'_iを示せるかな？とも思ったのですが、なんとなくなりそうってだけで、どのように厳密に示せばいいのかよくわかりません。 教科書にもさらっと書いてあるだけですし、おそらく簡単なことなのでしょうが私にはよくわからないです・・。 どなたか Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i の証明教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いいたしますm(_ _)m

ＴがＶの正規変換であるとき Ｔの相異なる固有値全部をβ_1,β_2,・・・,β_kとし 対応する固有空間をＷ_1,Ｗ_2,・・・,Ｗ_kとする Ｗ_iへの射影子をＰ_iとすれば Ｐ_1+Ｐ_2+・・・+Ｐ_k=I Ｐ_iＰ_j=0 (i≠j) Ｔ=β_1Ｐ_1+β_2Ｐ_2+・・・+β_kＰ_k が成立する。これを正規変換Ｔのスペクトル分解という。 スペクトル分解は一意的である。 実際、射影子Ｐ'_1,Ｐ'_2,・・・,Ｐ'_kによるもうひとつのスペクトル分解 Ｐ'_1+Ｐ'_2+・・・+Ｐ'_k=I Ｐ'_iＰ'_j=0 (i≠j) Ｔ=β_1Ｐ'_1+β_2Ｐ'_2+・・・+β_kＰ'_k があったとしよう。 Ｐ_i,Ｐ'_iがそれぞれ部分空間Ｗ_iＷ'_iへの射影子であるとすれば ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであるから Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i ("逆"の証明は略) と教科書にあったのですが、最後、なぜＷ_i＝Ｗ'_iが言えるのかがわかりません。 ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであることを用いてＷ_i⊂Ｗ'_iかつＷ_i⊃Ｗ'_iを示せるのですか？ Ｗ_i⊃Ｗ'_iのほうに関しては x'_i∈Ｗ'_iとすると Ｔ(x'_i)=β_i(x'_i)であるから、x'_iはＴの固有値β_iに対する固有空間Ｗ_iの固有ベクトルであるといえる。よってx'_i∈Ｗ_i つまりＷ_i⊃Ｗ'_iである。 とできるかな？とは思ったのですが、もう一つが・・・。 Ｗ_i⊃Ｗ'_iであることとＶが直和であることを用いてＷ_i=Ｗ'_iを示せるかな？とも思ったのですが、なんとなくなりそうってだけで、どのように厳密に示せばいいのかよくわかりません。 教科書にもさらっと書いてあるだけですし、おそらく簡単なことなのでしょうが私にはよくわからないです・・。 どなたか Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i の証明教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いいたしますm(_ _)m

２次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。 このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,Ｗ_2が存在する。 (1)Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変 (2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂Ｗ_2＝Ｖ (3)dim(Ｗ_1)＝１　dim(Ｗ_2)＝２ このとき・・・ Ｗ_1は(計量空間)Ｗ_2の部分空間であるからＷ_1^⊥をＷ_1の直交補空間とすると Ｗ_2＝Ｗ_1◎Ｗ_1^⊥(直和)となる・・・(※) Ｗ_2の任意の元をu[2]とすると、u[1]∈Ｗ_1 u[1']∈Ｗ_1^⊥を用いて u[2]=u[1]+u[1']と一意的に表せる。 このとき Ｔ(u[1'])=T(u[2])-T(u[1]) 今、Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変であるから T(u[2])∈Ｗ_2 T(u[1])∈Ｗ_1となる。ここで再び(※)より T(u[2])-T(u[1])＝αu[1']と一意的に表せる(αは定数) つまりＴ(u[1'])=αu[1']⊂Ｗ_1^⊥ とできたわけだが、u[1']は任意にとれるので これは結局、Ｔ(Ｗ_1^⊥)⊂Ｗ_1^⊥ つまりＷ_1^⊥がＴ-不変であるということである。 さて・・・ Ｗ_1の元のうち、ノルムが１となるものx[1]をとる。 さらに、Ｗ_2の元でＷ_1の任意の元と直交するもの全体 つまりＷ_1^⊥の元のうち、ノルムが１となるものx[2]をとる。 すると<x[1],x[2]>はＷ_2(Ｖ)の正規直交基底である。 また、Ｗ_1とＷ_1^⊥はともにＴ-不変であるから 今、Ｗ_1とＷ_1^⊥の次元がともに１であることを考慮して Ｔ(x[1])=αx[1] Ｔ[x[2]]=βx[2]なる数αβが存在するといえる。 よって、x[1]x[2]はＴの固有ベクトルであるともいえる。 私は、一般にｎ次元のユニタリ空間Ｖの正規変換Ｔの固有ベクトルのみからなるＶの正規直交基底がいつでもとれることを示そうと思い、まず一番簡単なｎ＝2の場合について、上記のように考えたのですが、あっているでしょうか？ 私は、一般のｎ次元ユニタリ空間の場合にも下記の定理 [定理] ｎ次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。 このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,・・・Ｗ_nが存在する。 (1)Ｗ_iはともにＴ-不変(i=1,2,・・・n) (2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂・・・Ｗ_n-1⊂Ｗ_n＝Ｖ (3)dim(Ｗ_i)=dim(Ｗ_i-1)+1 (i=1,2,・・・n) を使って同じような操作を続けて、最終的にはｎ個の固有ベクトルからなるＶの正規直交基底が得られるんだと思っているのですが・・。 どなたか添削よろしくお願いいたししますm(_ _)m

下記の微分方程式についての質問です。 k * (d^2 y/dx^2) = a * y^2 …(1) ここで、k, a は定数、(d^2 y/dx^2)はyの2階微分（つまりy''）を表しています。また、* は積を表しています。 この2階微分方程式の一般解を求めたいのですが、詰まっています。 私のやり方は、まず(d^2 y/dx^2)=y'' として k * y'' = a * y^2 …(2) (2)の両辺に2y'をかけて k*y''*2y' = a * y^2 * 2y' これより ( k * (y')^2 )' = ( 2a* (y^3/3) )' 両辺を積分して k * (y')^2 = (2a/3) * y^3 + C1 …(3) (ただしC1は積分定数) このあと、変数分離すればとけるはずなのですが、 その先が詰まっています。 C1があるせいで積分できないのです。 これは一般解が求められないのでしょうか？ また、初期条件は x=0でy=y0、x→∞でy=0 なので、x→∞でy'=0 と考えて、(3)よりC1=0 として考えると、 うまく変数分離できて y^(-3/2) dy = √(2a/3k) * dx ∴ y^(-1/2) = (-1/2) * √(2a/3k) *x + C2 (C2は積分定数) ∴ y = ((-1/2) * √(2a/3k) *x + C2)^(-2) …(4) 初期条件より C2 = y0^(-1/2) という感じで解いていったのですが、 どうやら解答は y = p * (x + q)^(-2) ただし、p = 6k/a, q = (a*y0/6k)^(-1/2) となるようです。。。 何度見直してもこうならないのですが、 私の計算ミスでしょうか。。。？ (i) 式(3)の一般解 (ii) 式(4)が合っているか に関して、どなたか知恵をお貸しいただければ幸いです。 数式見づらくて恐縮です。

ＴがＶの正規変換であるとき、 Ｔの相異なる固有値全部をβ[1],β[2],・・・,β[k]とし、 対応する固有空間をＷ[1],Ｗ[2],・・・,Ｗ[k]とする。 Ｖはこれらの部分空間の直和である。 Ｗ[i]への射影子をＰ[i]とすれば、明らかに Ｐ[1]+Ｐ[2]+・・・+Ｐ[k]=Ｅ(単位行列) （Ｐ[i]Ｐ[j])(x)=０　ｘ∈Ｖ Ｔ＝β[1]Ｐ[1]＋β[2]Ｐ[2]＋・・・β[k]Ｐ[k] が成立。これを正規変換Ｔのスペクトル分解という。 ここで、Ｔの随伴変換Ｔ^*が Ｔ^*＝β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k] となる理由が分からず困っています。 （β^*[1]は実質、β^*[1]の共役な複素数ですが・・。） 結果から、ｘ∈Ｖに対して Ｔ^*(x) ＝(β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k])(x) ＝β^*[1]Ｐ[1](x)＋β^*[2]Ｐ[2](x)＋・・・β^*[k]Ｐ[k](x) 一方 Ｔ^*(x) ＝(β[1]Ｐ[1]＋β[2]Ｐ[2]＋・・・β[k]Ｐ[k])^*(x) なので、結局 Ｔ^*(x) ＝(β[1]Ｐ[1]＋β[2]Ｐ[2]＋・・・β[k]Ｐ[k])^*(x) ＝(β^*[1]Ｐ^*[1]＋β^*[2]Ｐ^*[2]＋・・・β^*[k]Ｐ^*[k])(x) ここで、Ｐはエルミート変換より ＝(β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k])(x) よって Ｔ^*＝β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k] のように、いわば"*"が分配できれば証明できるなと思ったのですが、なぜ分配できるのか？といわれるとなぜだかわかりません。Ｔが行列なら分配できるのは明らかですが・・。 どなたかこの証明わかるかたいらっしゃいましたら解答よろしくお願い致ししますm(_ _)m

(1)数列の一般項a_nについて 「a_n∈Ｖならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈Ｖ」となるような空間Ｖについて a_n,b_n∈Ｖのとき　 lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈Ｖ Ｖは数０を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ　　　 などよりＶは実線形空間である (2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をＶとする。ここでＡ=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。 （つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をＡとする） このとき{a_n}{b_n}∈Ａについて {a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Ａは線形空間となる。 (なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、 Ａは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。) (3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、 x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0 なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Ａは実線形空間となる。 なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Ａについて {x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・} {k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば Ａにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており 実数列全体の集合Ｖにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈Ａ 同様にＶにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈Ａ などによりＡは実線形空間である この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか？ 添削よろしくお願いしますm(_ _)m