de_Raemon の回答履歴

以下に与えられる力F(t)で、ある時間t∈[ti、tf](tiは力が作用し始める時刻、 tfは力が作用し終わる時刻)だけ物体に力が作用したとすると、その物体の 運動量は保存するか、しないか。計算によって確かめよ。 という問題ですが、 P(t)-P(t0)=∫[t0→t]F(t)dtより (1)F(t)=mg、t∈[0、T] 解 I=∫[0→T]mgdt=mgT よって保存しない。 (2)F(t)=F0sin{(t/4)+θ0}、t∈[0,4π] 解 I=∫[0→4π]F0sin{(t/4)+θ0}dt=8F0cosθ0 よって保存しない。 (3)F(t)texp[-αt^2]、t∈[-∞、∞] (1)(2)はそれぞれ、あってますか？ (3)は積分の方法が分かりません。お願いします。

2次元平面内を運動する物体がある。この物体の運動をデカルト座標を 用いて表すと、その速度は v(t)={dx(t)/dt}i+{dy(t)/dt}j　　(v(t)は速度ベクトル) と表せる。但し、i,jはx軸y軸それぞれの単位ベクトルを表すものとする。 同様のことを２次元極座標を使って表すと、動径方向の単位ベクトルをer(t)、 角度方向の単位ベクトルをeθ(t)として、 v(t)={dr(t)/dt}er(t)+r{dθ(t)/dt}eθ(t) と書けることを示せ。但し、r(t)=√{x(t)^2+y(t)^2}とし、角度θ(t)は x軸から測った角度とする。(x(t)=r(t)cosθ(t),y(t)=r(t)sinθ(t)) という問題ですが、 (解)(長くなるので途中の式は省きます。) dx(t)/dt={dr(t)/dt}cosθ(t)-r(t){dθ(t)/dt}sinθ(t) dy(t)/dt={dr(t)/dt}sinθ(t)+r(t){dθ(t)/dt}cosθ(t) とそれぞれ求め、v(t)={dx(t)/dt}i+{dy(t)/dt}jに代入すると v(t)={dr(t)/dt}{cosθ(t)i+sinθ(t)j}+r(t){dθ(t)/dt}{-sinθ(t)i+cosθ(t)j}・・・ア と表せる。 er(t)=Ai+Bj eθ(t)=Ci+DjとおいてA,B,C,Dをもとめると er(t)=cosθ(t)i+sinθ(t)j・・・イ eθ(t)=-sinθ(t)i+cosθ(t)j・・・ウ アイウよりv(t)={dr(t)/dt}er(t)+r{dθ(t)/dt}eθ(t)と表せる。 という解き方をしたんですが、適切ですか？ お願いします。もっといい解き方があれば教えてください。

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gを用いて U = exp[iaG] (i：虚数,a：実定数) と表し、ある演算子Aが UAU^† = A を満たすとき、交換関係 [G,A] = 0 が成り立つそうなのですが、どう証明したらよいかがわかりません。 何かヒントをいただけたらと思います。よろしくお願いします。

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gを用いて U = exp[iaG] (i：虚数,a：実定数) と表し、ある演算子Aが UAU^† = A を満たすとき、交換関係 [G,A] = 0 が成り立つそうなのですが、どう証明したらよいかがわかりません。 何かヒントをいただけたらと思います。よろしくお願いします。

　電荷q[C]をもつ質量m[kg]の粒子がある。 その位置ベクトルを r = (x,y,z)　（太字が出来ませんので、ベクトルと認識してください） とする。 　粒子にはローレンツ力　(電場は考えない） 　　　F = q(v×B)　 がかかる。 と、こういう問題条件として、以下の問題がちょっと分からないので教えていただきたく思います。 (1) 角運動量 L = (Lx, Ly, Lz)　が満たすべき　一階の微分方程式を導け。 (2) 磁場ベクトル B=(0,0,b) （bは定数）があるとして（つまりz軸方向の一様な磁場です）、初期条件を以下のように定める。 　　　t=0 のとき、　Lx=0, Ly=L0 (L0は定数） このときの、(1)の微分方程式を解け。 といったものです。 問題条件だけ見ると、よくある一様磁場内での粒子の運動だと思いますし、粒子の与え方によっては螺旋回転運動をして、その回転角速度は 　　　ω= qb / m になる・・ など教科書でよく取り上げられる程度の解は、私にも分かります。 　まず、角運動量については、（1）の満たす一階の微分方程式というのはおそらく力のモーメントのことだと思いますので、 　　　dL/dt = r × F 　　　　　　= r × q(v × B) 　　　　　　= q ( v(r・B) - B(r・v) ) 　…でよろしいのでしょうか。 さて(2)ですが、途中計算を省略しまして、各成分については、以下時間微分を　dL/dt = L' のように表しますと　v = ( x', y', z' )　としまして 　　　Lx' = qb z y' 　　　Ly' = qb z x' 　　　Lz' = -qb ( x x' + y y' ) 　となりましたので、答え…ということでよろしいのでしょうか？　条件などで何か他の方程式になるような気もするのですが、有用であるような式を私には導き出せません。（多分これが間違っているからこの後が解けないような気もしています） 　一応問題にはヒントとして、一階の微分方程式をもう一度両辺tで微分し、二階の微分方程式として解き、それから一階の微分方程式の解を求めると良い。　とあります。 　(1)で求めたものを一応微分しましても、ヒントが恐らく言いたいだろう、まったく計算しやすいものとはいえない気がします。連立微分方程式でしょうが、ベクトルLとrが混じって（Lもvなどに直して計算していくという泥臭い方法でなら私にも解けるかもしれません）どのように解まで計算できるのか数学的にも少し分からない状態です。 　以上に示しましたとおり、私が数学的な微分方程式の解法を十分理解していないだけなのかもしれませんが・・・どなたか分かる人がおられましたら教えていただきたく思います。 　宜しくお願いします。

直交座標でx^2/a^2+y^2/b^2=1と表されている楕円を極座標に変換してr=q/1+pcosθのような形で表すにはどのような式変形をすればよいでしょうか。また、その逆で極座標で表されているものを直交座標に直すにはどうすればよいでしょうか。 どなたか数学の得意な方教えてください。 途中の計算過程をできるだけ詳しく書いていただけると幸いです。

『英国妖異譚』にはまってから、他の全寮制関係の本も読んでみたいと思いました。 なるべく多く挙げてくださると嬉しいです。 『ネバーランド』『飛ぶ教室』『エデンを遠く離れてシリーズ』『タクミくんシリーズ』『全寮制櫻林館学院シリーズ』『秋霖高校第二寮シリーズ』以外でお願いします。 外国の話でも、日本の話でも、何でもかまいませんのでよろしくお願いします。

昔見た映画で、他の女性を真似て髪を金髪に染めて同じ色のストールを買って身につけていたら殺されてしまった、というような話を見た覚えがあるのですが、あらためて小説で読みたいと思っています。 たぶんアガサ・クリスティーミス・マープルのシリーズだったと思うのですが、お分かりになる方が見えたら教えてください。

集合位相入門(松坂和夫)のp69に次のような定理と証明が書いてありました。 [定理] 濃度m,nについて、 m≦n,n≦mならばm=n [証明] CardA=m,Card=nでなる集合ＡとＢをとれば、 m≦nであるから("≦"の定義より)、ＡからＢへの単射が存在し、 n≦mよりＢからＡへの単射が存在する。よって、ベルンシュタインの定理より、ＡとＢは対等(A～B)である。ゆえにm=nである。 また、 濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろう。 みたいな記述もあったのですが、 それなら(p56の(6.2)にもあるように) 同値類n、mの代表元Ａ、Ｂをとってきて、 それらが対等関係ならば同値類も等しいから、m=nとできると思いました。 [質問1]証明中の"ゆえにm=n"というのはこうゆうことでしょうか？ [質問２]"同値類"という言葉は、"類別"という用語と違って、"集合全体の集まり"を集合と見るか見ないかにかかわらず使用できる言葉ですよね？ どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いいたしますm(_ _)m

集合位相入門(松坂和夫)のp69に次のような定理と証明が書いてありました。 [定理] 濃度m,nについて、 m≦n,n≦mならばm=n [証明] CardA=m,Card=nでなる集合ＡとＢをとれば、 m≦nであるから("≦"の定義より)、ＡからＢへの単射が存在し、 n≦mよりＢからＡへの単射が存在する。よって、ベルンシュタインの定理より、ＡとＢは対等(A～B)である。ゆえにm=nである。 また、 濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろう。 みたいな記述もあったのですが、 それなら(p56の(6.2)にもあるように) 同値類n、mの代表元Ａ、Ｂをとってきて、 それらが対等関係ならば同値類も等しいから、m=nとできると思いました。 [質問1]証明中の"ゆえにm=n"というのはこうゆうことでしょうか？ [質問２]"同値類"という言葉は、"類別"という用語と違って、"集合全体の集まり"を集合と見るか見ないかにかかわらず使用できる言葉ですよね？ どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いいたしますm(_ _)m

「線形代数入門/斎藤正彦」のp125に次のような記述がありました。 (一部修正してます) [定義] 「ユニタリ空間ＶからＶ自身への計量同型写像をＶのユニタリ変換という。」 Ｖの線形変換Ｔがベクトルの長さを変えなければ、すなわち、Ｖの任意の元に対して|Tx|=|x|が成り立つならばＴはＶのユニタリ変換である。 実際、容易にわかるように、ＴはＶからＶへの上への一対一線形変換、すなわち同型写像である。また、 |x+y|^2=|x|^2+(x,y)+(x,y)~+|y|^2 |T(x+y)|^2=|Tx|^2+(Tx,Tx)+(Tx,Tx)~+|Ty|^2 ※(x,y)~は(x,y)の共役な複素数の意です。 今、|Tx|=|x|により (x,y)+(x,y)~＝(Tx,Ty)+(Tx,Ty)~ したがって(x,y)と(Tx,Ty)との実数部分は互いに等しい。 一方、xの代わりにix(iは虚数単位)を代入すれば、 i{(x,y)-(x,y)~}=i{(Tx,Ty)-(Tx,Ty)~} により、(x,y)と(Tx,Ty)とは虚数部分も互いに等しい。 すなわち、Ｔは内積を変えないことがわかる。 この記述に関する質問なのですが ＴはＶからＶへの上への一対一線型変換、すなわち同型写像である ということが、安易にわからないのですが・・。 どのようにして単射性と全射性を示すのでしょうか？ 以前に、コチラで ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html​ 同じような質問をして、納得したつもりですが、 コチラの質問で ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4840212.html​ どうやらまだ解決してなさそうだと思い、今回質問させていただきました。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら 回答よろしくお願いしますm(_ _)m ※Ｖは有限次元です

「線形代数入門/斎藤正彦」のp125に次のような記述がありました。 (一部修正してます) [定義] 「ユニタリ空間ＶからＶ自身への計量同型写像をＶのユニタリ変換という。」 Ｖの線形変換Ｔがベクトルの長さを変えなければ、すなわち、Ｖの任意の元に対して|Tx|=|x|が成り立つならばＴはＶのユニタリ変換である。 実際、容易にわかるように、ＴはＶからＶへの上への一対一線形変換、すなわち同型写像である。また、 |x+y|^2=|x|^2+(x,y)+(x,y)~+|y|^2 |T(x+y)|^2=|Tx|^2+(Tx,Tx)+(Tx,Tx)~+|Ty|^2 ※(x,y)~は(x,y)の共役な複素数の意です。 今、|Tx|=|x|により (x,y)+(x,y)~＝(Tx,Ty)+(Tx,Ty)~ したがって(x,y)と(Tx,Ty)との実数部分は互いに等しい。 一方、xの代わりにix(iは虚数単位)を代入すれば、 i{(x,y)-(x,y)~}=i{(Tx,Ty)-(Tx,Ty)~} により、(x,y)と(Tx,Ty)とは虚数部分も互いに等しい。 すなわち、Ｔは内積を変えないことがわかる。 この記述に関する質問なのですが ＴはＶからＶへの上への一対一線型変換、すなわち同型写像である ということが、安易にわからないのですが・・。 どのようにして単射性と全射性を示すのでしょうか？ 以前に、コチラで ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html​ 同じような質問をして、納得したつもりですが、 コチラの質問で ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4840212.html​ どうやらまだ解決してなさそうだと思い、今回質問させていただきました。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら 回答よろしくお願いしますm(_ _)m ※Ｖは有限次元です

「線形代数入門/斎藤正彦」のp125に次のような記述がありました。 (一部修正してます) [定義] 「ユニタリ空間ＶからＶ自身への計量同型写像をＶのユニタリ変換という。」 Ｖの線形変換Ｔがベクトルの長さを変えなければ、すなわち、Ｖの任意の元に対して|Tx|=|x|が成り立つならばＴはＶのユニタリ変換である。 実際、容易にわかるように、ＴはＶからＶへの上への一対一線形変換、すなわち同型写像である。また、 |x+y|^2=|x|^2+(x,y)+(x,y)~+|y|^2 |T(x+y)|^2=|Tx|^2+(Tx,Tx)+(Tx,Tx)~+|Ty|^2 ※(x,y)~は(x,y)の共役な複素数の意です。 今、|Tx|=|x|により (x,y)+(x,y)~＝(Tx,Ty)+(Tx,Ty)~ したがって(x,y)と(Tx,Ty)との実数部分は互いに等しい。 一方、xの代わりにix(iは虚数単位)を代入すれば、 i{(x,y)-(x,y)~}=i{(Tx,Ty)-(Tx,Ty)~} により、(x,y)と(Tx,Ty)とは虚数部分も互いに等しい。 すなわち、Ｔは内積を変えないことがわかる。 この記述に関する質問なのですが ＴはＶからＶへの上への一対一線型変換、すなわち同型写像である ということが、安易にわからないのですが・・。 どのようにして単射性と全射性を示すのでしょうか？ 以前に、コチラで ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html​ 同じような質問をして、納得したつもりですが、 コチラの質問で ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4840212.html​ どうやらまだ解決してなさそうだと思い、今回質問させていただきました。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら 回答よろしくお願いしますm(_ _)m ※Ｖは有限次元です

f:Ａ→Ｂ g:Ｂ→Ｃとするとき (a)Ａの任意の部分集合Ｐに対して (g・f)(Ｐ)＝g(f(Ｐ)) (b)Ｃの任意の部分集合Ｒに対し {(g・f)^(-1)}(Ｐ)＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ)) であることを示せ。(集合位相入門/松坂和夫) について、(b)は (g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を利用すれば {(g・f)^(-1)}(Ｐ) ＝{f^(-1)・g^(-1)}(Ｐ) ＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ)) とできるので、(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を 証明すればＯＫだと思い次のように考えました。 [1] ～(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)の証明～ (g・f)^(-1)とf^(-1)・g^(-1）の始集合と終集合はともに一致。 xをＣの任意の元とする (g・f)^(-1)(x) ＝{a∈Ａ；(g・f)(a)＝x} ＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x} 一方 (f^(-1)・g^(-1))(x) ＝f^(-1)(g^(-1)(x)) ＝{a∈Ａ；f(a)∈g^(-1)(x)} ＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x} よって∀x∈Ｃについて(g・f)^(-1)(x)＝(f^(-1)・g^(-1))(x) よって(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1) [2] ～(a)の証明～ x∈(g・f)(Ｐ) →∃a∈Ｐ　s.t. (g・f)(a)=x →f(a)∈f(Ｐ) →g(f(a))∈g(f(Ｐ)) →(g・f)(a)∈g(f(Ｐ)) →x∈g(f(Ｐ)) よって(g・f)(Ｐ)⊂g(f(Ｐ)) 逆に x∈g(f(Ｐ)) →∃b∈f(Ｐ)　s.t. g(b)＝x →∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b・・・(※) [質問１] [1]の証明は正しいでしょうか？ [質問２] [2]の証明において (※)からがわかりません。 私は、(※)の直後に a∈Ｐでない、つまりa∈Ａ-Ｐと仮定して矛盾を導こうとしました。 なぜなら、 a∈Ｐ→(g・f)(a)∈(g・f)(Ｐ) →g(f(a))＝g(b)＝x∈(g・f)(Ｐ)とできると思ったからです。 でもうまく矛盾が導けませんでした。 しかし、fが単射という特別な場合ならば a∈Ａ-Ｐ→f(a)＝ｂ∈f(Ａ-Ｐ) よりｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ) 今、fは単射より ｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)＝f((Ａ-Ｐ)∩Ｐ)＝f(φ)＝φ これはfが写像であることに矛盾。 とできるなと思ったのですが、一般の写像に関してうまく矛盾が導きだせません・・。 なので、私の方針が根本的に誤りなのだと思ったのですが、 どこに誤りがあるのか自分ではわかりませんでした。 どなたか、[質問１][質問２]についてわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

「線形代数入門/斎藤正彦」のp125に次のような記述がありました。 (一部修正してます) [定義] 「ユニタリ空間ＶからＶ自身への計量同型写像をＶのユニタリ変換という。」 Ｖの線形変換Ｔがベクトルの長さを変えなければ、すなわち、Ｖの任意の元に対して|Tx|=|x|が成り立つならばＴはＶのユニタリ変換である。 実際、容易にわかるように、ＴはＶからＶへの上への一対一線形変換、すなわち同型写像である。また、 |x+y|^2=|x|^2+(x,y)+(x,y)~+|y|^2 |T(x+y)|^2=|Tx|^2+(Tx,Tx)+(Tx,Tx)~+|Ty|^2 ※(x,y)~は(x,y)の共役な複素数の意です。 今、|Tx|=|x|により (x,y)+(x,y)~＝(Tx,Ty)+(Tx,Ty)~ したがって(x,y)と(Tx,Ty)との実数部分は互いに等しい。 一方、xの代わりにix(iは虚数単位)を代入すれば、 i{(x,y)-(x,y)~}=i{(Tx,Ty)-(Tx,Ty)~} により、(x,y)と(Tx,Ty)とは虚数部分も互いに等しい。 すなわち、Ｔは内積を変えないことがわかる。 この記述に関する質問なのですが ＴはＶからＶへの上への一対一線型変換、すなわち同型写像である ということが、安易にわからないのですが・・。 どのようにして単射性と全射性を示すのでしょうか？ 以前に、コチラで ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html​ 同じような質問をして、納得したつもりですが、 コチラの質問で ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4840212.html​ どうやらまだ解決してなさそうだと思い、今回質問させていただきました。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら 回答よろしくお願いしますm(_ _)m ※Ｖは有限次元です

f:Ａ→Ｂ g:Ｂ→Ｃとするとき (a)Ａの任意の部分集合Ｐに対して (g・f)(Ｐ)＝g(f(Ｐ)) (b)Ｃの任意の部分集合Ｒに対し {(g・f)^(-1)}(Ｐ)＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ)) であることを示せ。(集合位相入門/松坂和夫) について、(b)は (g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を利用すれば {(g・f)^(-1)}(Ｐ) ＝{f^(-1)・g^(-1)}(Ｐ) ＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ)) とできるので、(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を 証明すればＯＫだと思い次のように考えました。 [1] ～(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)の証明～ (g・f)^(-1)とf^(-1)・g^(-1）の始集合と終集合はともに一致。 xをＣの任意の元とする (g・f)^(-1)(x) ＝{a∈Ａ；(g・f)(a)＝x} ＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x} 一方 (f^(-1)・g^(-1))(x) ＝f^(-1)(g^(-1)(x)) ＝{a∈Ａ；f(a)∈g^(-1)(x)} ＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x} よって∀x∈Ｃについて(g・f)^(-1)(x)＝(f^(-1)・g^(-1))(x) よって(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1) [2] ～(a)の証明～ x∈(g・f)(Ｐ) →∃a∈Ｐ　s.t. (g・f)(a)=x →f(a)∈f(Ｐ) →g(f(a))∈g(f(Ｐ)) →(g・f)(a)∈g(f(Ｐ)) →x∈g(f(Ｐ)) よって(g・f)(Ｐ)⊂g(f(Ｐ)) 逆に x∈g(f(Ｐ)) →∃b∈f(Ｐ)　s.t. g(b)＝x →∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b・・・(※) [質問１] [1]の証明は正しいでしょうか？ [質問２] [2]の証明において (※)からがわかりません。 私は、(※)の直後に a∈Ｐでない、つまりa∈Ａ-Ｐと仮定して矛盾を導こうとしました。 なぜなら、 a∈Ｐ→(g・f)(a)∈(g・f)(Ｐ) →g(f(a))＝g(b)＝x∈(g・f)(Ｐ)とできると思ったからです。 でもうまく矛盾が導けませんでした。 しかし、fが単射という特別な場合ならば a∈Ａ-Ｐ→f(a)＝ｂ∈f(Ａ-Ｐ) よりｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ) 今、fは単射より ｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)＝f((Ａ-Ｐ)∩Ｐ)＝f(φ)＝φ これはfが写像であることに矛盾。 とできるなと思ったのですが、一般の写像に関してうまく矛盾が導きだせません・・。 なので、私の方針が根本的に誤りなのだと思ったのですが、 どこに誤りがあるのか自分ではわかりませんでした。 どなたか、[質問１][質問２]についてわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

f:Ａ→Ｂ g:Ｂ→Ｃとするとき (a)Ａの任意の部分集合Ｐに対して (g・f)(Ｐ)＝g(f(Ｐ)) (b)Ｃの任意の部分集合Ｒに対し {(g・f)^(-1)}(Ｐ)＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ)) であることを示せ。(集合位相入門/松坂和夫) について、(b)は (g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を利用すれば {(g・f)^(-1)}(Ｐ) ＝{f^(-1)・g^(-1)}(Ｐ) ＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ)) とできるので、(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を 証明すればＯＫだと思い次のように考えました。 [1] ～(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)の証明～ (g・f)^(-1)とf^(-1)・g^(-1）の始集合と終集合はともに一致。 xをＣの任意の元とする (g・f)^(-1)(x) ＝{a∈Ａ；(g・f)(a)＝x} ＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x} 一方 (f^(-1)・g^(-1))(x) ＝f^(-1)(g^(-1)(x)) ＝{a∈Ａ；f(a)∈g^(-1)(x)} ＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x} よって∀x∈Ｃについて(g・f)^(-1)(x)＝(f^(-1)・g^(-1))(x) よって(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1) [2] ～(a)の証明～ x∈(g・f)(Ｐ) →∃a∈Ｐ　s.t. (g・f)(a)=x →f(a)∈f(Ｐ) →g(f(a))∈g(f(Ｐ)) →(g・f)(a)∈g(f(Ｐ)) →x∈g(f(Ｐ)) よって(g・f)(Ｐ)⊂g(f(Ｐ)) 逆に x∈g(f(Ｐ)) →∃b∈f(Ｐ)　s.t. g(b)＝x →∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b・・・(※) [質問１] [1]の証明は正しいでしょうか？ [質問２] [2]の証明において (※)からがわかりません。 私は、(※)の直後に a∈Ｐでない、つまりa∈Ａ-Ｐと仮定して矛盾を導こうとしました。 なぜなら、 a∈Ｐ→(g・f)(a)∈(g・f)(Ｐ) →g(f(a))＝g(b)＝x∈(g・f)(Ｐ)とできると思ったからです。 でもうまく矛盾が導けませんでした。 しかし、fが単射という特別な場合ならば a∈Ａ-Ｐ→f(a)＝ｂ∈f(Ａ-Ｐ) よりｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ) 今、fは単射より ｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)＝f((Ａ-Ｐ)∩Ｐ)＝f(φ)＝φ これはfが写像であることに矛盾。 とできるなと思ったのですが、一般の写像に関してうまく矛盾が導きだせません・・。 なので、私の方針が根本的に誤りなのだと思ったのですが、 どこに誤りがあるのか自分ではわかりませんでした。 どなたか、[質問１][質問２]についてわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

http://ibisforest.org/index.php?%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B このページの一番上で f(x)+g(y)=xy と書かれていますが、左の２つの式からどうやればこれが導けるのでしょうか？ お願いいたします。

(1) 『写像f:A→Bとg:B→Cについて、fとgとの合成写像はfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致するときに限って定義される』(集合位相入門/松坂和夫) これについて、 f:A→Bとg:C→Dで f(A)⊂BかつB⊂Cならば べつにfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致しなくても良いと思ったのですが、違うのでしょうか？ (2) 『対応(≠写像)F,GがいずれもAからBへの対応であって∀a∈AでF(a)＝G(a)の時FとGは等しい。2つの対応の相等を論じ得る為には、もちろんそれらの始集合,終集合がそれぞれ一致していることが前提である』(集合・位相入門/松坂和夫) これについても似たようなことなんですが、FがAからBへの対応,GがAからCへの対応であり,さらに任意のAの元aについてF(a)＝G(a)という時は,別にB＝CでなくともC⊂BとかB⊂Cのときも対応FとGは等しいと言えませんか？ 私は,始集合が一致していることとF(a)＝G(a)が成り立っていること つまり始集合と値域が一致していれば、この2つの対応は等しいとは言えると思ってました。 具体的には 対応F:A→B対応G:A→Cとする。ここでは、B⊂Cとしても一般性は失われない。 さて、今が任意Aの元aについてF(a)＝G(a)が成り立っているとする。 これはF(A)＝G(A)ということ。 ここでF(A)＝G(A)⊂B⊂C⊆Dなる集合Dをとれば対応FとGはともにAからDへの対応とも言える。 すると、定義から対応FとGは等しい。 これではダメでしょうか？ 始集合と終集合に関する記述はどうも混乱します… (1)(2)についてどなたか分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(__)m

(1) 『写像f:A→Bとg:B→Cについて、fとgとの合成写像はfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致するときに限って定義される』(集合位相入門/松坂和夫) これについて、 f:A→Bとg:C→Dで f(A)⊂BかつB⊂Cならば べつにfの終集合とgの始集合(定義域)とが一致しなくても良いと思ったのですが、違うのでしょうか？ (2) 『対応(≠写像)F,GがいずれもAからBへの対応であって∀a∈AでF(a)＝G(a)の時FとGは等しい。2つの対応の相等を論じ得る為には、もちろんそれらの始集合,終集合がそれぞれ一致していることが前提である』(集合・位相入門/松坂和夫) これについても似たようなことなんですが、FがAからBへの対応,GがAからCへの対応であり,さらに任意のAの元aについてF(a)＝G(a)という時は,別にB＝CでなくともC⊂BとかB⊂Cのときも対応FとGは等しいと言えませんか？ 私は,始集合が一致していることとF(a)＝G(a)が成り立っていること つまり始集合と値域が一致していれば、この2つの対応は等しいとは言えると思ってました。 具体的には 対応F:A→B対応G:A→Cとする。ここでは、B⊂Cとしても一般性は失われない。 さて、今が任意Aの元aについてF(a)＝G(a)が成り立っているとする。 これはF(A)＝G(A)ということ。 ここでF(A)＝G(A)⊂B⊂C⊆Dなる集合Dをとれば対応FとGはともにAからDへの対応とも言える。 すると、定義から対応FとGは等しい。 これではダメでしょうか？ 始集合と終集合に関する記述はどうも混乱します… (1)(2)についてどなたか分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(__)m