高校数学、軌跡
(問題)
xy平面上に2直線
L1:mx-y=0,L2:x+my-2=0があり、この2直線の交点をPとする。
(1)Pが全実数を動く時のPの軌跡を求めよ。
(2)mが全ての正の実数を動くときのPの軌跡を求めよ。
(問題集の解答)
P(X,Y)とおく、L1,L2の式からX,Yをmで表すと、
X=2/(m^2+1)(1)、Y=2m/(m^2+1)(2)
(1)(2)で与えられる(X,Y)の軌跡を求める。
いきなりmを消去するのは難しいので、一度(2)/(1)を計算し、mについて解くと、
Y/X=m(3)。これを(1)に代入すると、X=2/{(Y/X)^2+1}(4)
よって、X{(Y/X)^2+1}=2(5)
さらに、両辺にXをかけると、X^2+Y^2=2X(6)かつX≠0(7)となる。
また、(6)は(6)⇔(X-1)^2+Y^2=1である。
(1)(6)かつ(7)よりPの軌跡は(x-1)^2+y^2=1かつx≠0
(2)mの範囲がm>0に限定されているから(3)について
Y/X>0⇔XY>0(8)
(1)かつ(8)が求める軌跡である。
(疑問)
(a)(2)/(1)を計算したのが(3)ですが、ここでなぜX≠0という制限を付けないのでしょうか?
(b)(5)の両辺にXをかけるところでX≠0という制限が付くのはなぜでしょうか?
お礼
ご回答ありがとうございます。