大家さんというのはマンション全体の大家さんでしょうか？ 分譲マンションを購入し、賃貸に出している大家さんでしたら、あなたの部屋だけの所有者ですので、物理的に設置出来ないのでしたら話しても無理でしょう。
マンション全体の大家（オーナー）でしたら、屋上にアンテナを設置し、既存のアンテナ信号と混合する事で実現できますが、個別に設置するのとは訳が違います。
全体の戸数がわかりませんが、共同受信用のＢＳアンテナは７５ｃｍクラス（８万円ぐらい）から１２０ｃｍクラス（２０万円ぐらい）の物を使います。 大きくなるとそれだけ風を受けますので、設置も強固に行い、設置費用もかなりかかります。
大家さんの目ん玉が飛び出すぐらいになるでしょうね。
ですから、あなたが個人的に話しても難しいかと思います。 自治会とか住民の総意とかで、まず、大家に相談という形から交渉していくのが無難でしょうね。
しかし、実際には既に南向きのお宅では自費で設置されているでしょうから総意は得られない可能性が高いです。
という事で、あなたも自費設置がスムーズかなと思うんですが、ベランダは無くても南に腰窓なんか無いですか？
そこに手摺があれば取り付け出来ますし、サッシから隙間ケーブルでアンテナ線を這わせる事も出来ます。
あなたと同じ向きで、別のフロアーの方がどうやっているか観察してみてはいかがでしょう？
お礼
回答ありがとうございます。 大家さんは、マンション全体の大家さんで、全体の戸数は１０件です。 アンテナ設置するだけでも結構な費用がかかるのですね。