国保の軽減措置は以下のように決められています。
・軽減の適用期間は、離職日の翌日の月から翌年度末まで。
・ただし、軽減期間中に途中で就職した場合、国保に加入中であれば引き続き軽減の対象になりますが、職場の健康保険に加入するなど国保を脱退すると軽減期間は終了となります。
・再び失業して国保に再加入した場合、軽減対象期間内であれば、再び軽減制度を利用することができます。
したがって、国保料の軽減措置は復活しますから、保険料は軽減された額のままです。
再就職先の退職日は9月30日付ですよね。そうであれば、9月の再就職時に国保の脱退手続きをご自分でなさっていて、10月からの再加入手続をされるなら、二重払いにはなりません（国保は9月分を支払わない）。手続きがまだ済んでいない場合は、市区役所（または町村役場）で、9月の脱退と10月からの再加入の手続きをしないと9月分は二重払いになる可能性があります。
年金については、就職時は会社が手続きしますが、退職時は自分で役所に行って国民年金の再加入の手続きをします。二重払いにはなりません。
運悪く、9月28日あるいは29日が退職日ですと、同じ月での就職・退職（同月得喪）になって、健康保険は二重払い（社会保険と国保）となってしまいます。これは仕方ありません。
一方、年金保険料については、二重払いにはなりません。9月分の厚生年金保険料をもし支払っていれば、9月に勤務していた会社に返金処理をお願いすることになります。
お礼
安心しました。 今回窓口の男性が高くなると言っていたので焦りました。 良い加減な窓口ですね。 離職票が届きましたら区役所に行きます。 その際、10月1日に口座引き落とし金額も見てもらいます。