きっぷを「みどりの窓口」にて現金で購入した場合、利用前なら１回に限り乗車変更（区間変更も含む）が出来ます。
恐らく、乗車券・特急券（２枚の場合もあれば１枚に纏められたものもありますが）になりますので、それぞれ乗車変更をする事になります。出発駅→京都 の乗車券、出発駅→京都 の特急券を、それぞれ 出発駅→神戸 の乗車券と出発駅→新神戸 の特急券に変更。これであれば、差額を支払う事で済みます。
しかし、お手持ちの乗車券・特急券を利用してから、下車駅（神戸）で精算しようとすると少し話が変わってきます。
まず、特急券ですが 京都～新神戸 の実費料金（指定席利用の場合2,770円）を要求されます。
乗車券については、更に精算方法が複雑です。
出発駅～京都が100Km以下であれば、京都～神戸の乗り越し分は 出発駅～神戸の乗車券代 － 出発駅～京都の乗車券代となります。しかし、100Kmを超えるとなると、京都～神戸の実費料金（1,080円）を要求されます。
「みどりの窓口」で現金購入した場合、ざっと上の通りとなります。
ただ、出発駅が東京・品川・新横浜の何れかの場合、乗車券を神戸より遠い場所にする事で、出発駅～神戸の乗車券代よりも安くできる方法（往復割引）があります。
・東京・品川駅出発ならば 垂水駅（神戸駅から７つ西の駅）※乗車券は、東京都区内→垂水
・新横浜駅出発ならば 宝殿駅（加古川駅の１つ西の駅）※乗車券は、横浜市内→宝殿
を下車駅に設定すると片道600Kmを超える為、往復割引（片道当り8,650円）が適用できます。この様な規則を利用して、乗車券代を節約する方法もあります。新横浜以西の出発駅となると、少し難しいかもしれませんが、乗車案内等でキロ数をチェックしてみてください。もしかしたら、往復割引が適用できるかもしれません。
きっぷの原券が「新幹線回数券（チケットセンターで購入したものも含む）」の場合は、乗車区間変更する方法がありません。また、企画切符（企が〇で囲んであるもの）、契約切符（契が〇で囲んであるもの）も新幹線回数券と同じ取扱いで乗車変更できません。どちらも、乗り越した料金を下車駅にて精算する事になります。精算窓口にて、乗車券1,080円、特急券2,770円（指定席）が要求されます。
精算窓口での時間を回避したいのであれば、乗り越す区間の乗車券と特急券を購入しておき、降車駅の改札で手持ちの切符と一緒に通せば簡単になるかと思います（JRの規則は、乗車駅～下車駅まで途切れず連続した区間のきっぷを所持していれば下車することができます）。
最後に、質問では「神戸」と仰っておりますが、「新神戸」が下車駅かつ乗り越し精算するのであれば、予めチケットセンターで 京都～新神戸 の新幹線回数券（指定席の設定はありません）を購入しておき、改札を出る手段もあります。
