こんにちは。
まず、永住権は国籍とは別です。アメリカの永住権をとっても
アメリカの国民（アメリカ市民といいます）になるわけではないのです。
ちなみに日本にも、外国の国籍をもっていながら、
日本の永住権を持っている方がたくさんいます。
グリーンカードについて。
たとえば日本人が日本にいる場合、自由に就職したり引っ越し
したり、好き勝手にすることができます。
これは、自国民が自国にいるからこそ、できることです。
たとえば日本人がアメリカに住みたいと思っても、
自由に住んでいいわけではありません。
米国政府の許可が必要になります。これが「ビザ」です。
（逆に、アメリカ人が日本に住みたいと思っても、
日本政府の許可が必要ですよ、もちろん）
ビザにはいくつか種類があり、目的別に発行されています。
学校に行きたい人には学生ビザ、働く人には就労ビザ等．．．。
しかし、普通のビザには一定の制限があります。たとえば
学生なら、学校から卒業すると基本的には自国に帰国しなくては
なりません。
また働く人用ビザは、勤務先企業にスポンサーになって
もらって発行するので、転職ができません。
また、いろいろと更新手続きをするのは（日本の運転免許の
更新などでもわかるように）何かと面倒です。
このように普通のビザですと、いろいろな制限や不都合があるのです。
現地で生活したい人にとっては、この制限が非常に邪魔なわけです。
（例えば嫌な上司がいて毎日憂鬱な場合でも転職できないので、
日本に帰国するか、我慢し続けるかの二者択一になります）
ちなみにビザなしで観光旅行などもできますが、その場合は90日
以内に絶対に自国に帰らなくてはなりません。
この期間がすぎると「不法滞在」になり、見つかったら
即刻、国外退去させられます。
永住権（グリーンカード）があれば、就職や滞在期間などに
制限がなくなります。普通に現地に暮らせます。
（上司が嫌でたまらなかったら、正々堂々と転職活動ができるし、
お金さえあるなら、何年つづけてハワイでバカンスしててもいいんです。）
けれども最初に書きましたように、国籍はありませんので、
アメリカの選挙には一切参加できません。
（日本国籍をもっているなら日本の選挙に参加できます）
まあこんな感じです。
とても大雑把に書きましたが分かっていただけたでしょうか。
