数学の命題に関する質問です。

質問

正の数a,bについてa+b<2ならばab<1の真偽を調べる問題の解答でa+b<2(a>0,b>0)の時、aab=1/4[(a+b)^2-(a-b)^2]≦1/4(a+b)^2<1/4×2^2=1となっているのですが何処からこの式を導き出したのか分かりません。分かる方がいらっしゃいましたら教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.1

noname#225666 · ベストアンサー

公式ではなく、
a+bとabを関係付ける為の
工夫・アイディアといったところです。

そのままでは直接的な関連性はないけど、
a+bを二乗してみると
abの項が出ますね。

しかし、同時にa＾2とb＾2も出てきて、
a+b<2を手掛かりにabを評価するには
どうも都合が悪いのでa-bの二乗を引いてみよう、
というわけです。

そうするとうまい具合にabの項だけ残り、
4ab=(a+b)＾2―(a-b)＾2≦(a+b)＾2－0
の関係が得られます。

後は、
a+b<2
の関係を利用すれば
abの評価ができますね。

たまたま上手くいったような気がして
受け入れ難いかもしれませんが、
数学の解法は一つに決まっている訳でなく、
解けるかどうか分からない問題と向き合い
色々と試行錯誤しながら
解を導き出していくものです。

きちんと解ける確証がないまま、
アイディアを手掛かりに考えを
掘り下げていったら、
運良く上手くいったということが
あっても良いのです。

自分で思い付かないようであれば、
こういうテクニックもあるんだと学んで、
同じような場面で利用して下さい。