ブラシクリーナーは、揮発性油に比べて揮発が遅いです。ですから、ブラシクリーナーで洗った後の筆は数日～1週間くらいはしっとりとした状態ですね。
揮発性の強いテレピンなどの方が、ブラシクリーナーよりは刺激も強いです。揮発性が強いということは、それだけ揮発が速く、キューティクルなどのタンパク質を保護する筆の毛本来の油分をも奪っていってしまいます。
質問者さんの経済力によりますが、高価な軟毛筆を長期間使いたければ、ブラシクリーナーであろうと揮発性油であろうと、筆を洗った後のトリートメントなどの保護をした方がいいと思います。
僕の知人だと、髪の毛を洗うように軟毛の筆だけはシャンプー＋トリートメントをしたり、とか、ブラシクリーナーなどを使わずにオリーブオイルなど食用油で汚れをもみ出すように洗って布で拭き取る、という人もいます。
ただし、ブラシクリーナーや揮発性油どちらであっても、絵の具を洗い落とした後、筆に残った余分な油分（ブラシクリーナーなどの）もちゃんと拭き取って、吊るして筆の穂先を下に向けて乾かす…など、毛を痛めないようにしていれば、それほど敏感になる必要はないと思います。
ブラシクリーナーに浸して放置するなどが無ければ、特に問題ないでしょう。
余談ですが、軟毛の筆は豚毛などに比べれば、消耗が激しいですね。
ですので、個人的には軟毛筆は画材屋などに置いていある高価なものはほとんど買わず、ホームセンターなどにある安価なもので済ませています。もちろん、安いものはそれだけすぐにダメになってしまうのですが、描く枚数が増えれば、筆なんて一生もののようにできるわけではなく、ダメになったらすぐに買い替える、またダメになる前に予備の筆を買っておく、などが必要になります。
そうなると、高価な獣毛の軟毛筆より、アクリル繊維などで代用された、ホビー用やペンキ用の安い軟毛筆を大量に買い、どんどん使い替えてていった方がいいか、と。
まあ、描き味や毛のハリ・コシなどに特に大きなこだわりがなければ…。参考までに。
