1ヶ月だけの国保加入は出来ます。
>明日手続きは可能か
健康保険資格喪失(脱退)証明書はお持ちですか?
お持ちでなければ手続きは不可能です。届いた時点で手続きして下さい。
そして、証明書に書かれている健康保険の資格喪失日はいつでしょうか?
国保の資格は前の健康保険の資格を喪失した日からとなるので
もしそれが3月31日ならば明日の手続きは可能です。
但し、そうなれば3月31日からの加入となってしまうので
たった1日でも3月1ヶ月分の保険料が発生しますよ。
資格喪失日が4月1日ならば手続きは不可能です。
書類を預かること位なら出来ますが、資格は4月1日にならないと付けられません。
保険証も資格が付いた後じゃないと発行が出来ません(加入予約のようなことは残念ながら出来ないのですよ)。
この場合であれば4月1日以降に手続きに行くことをお勧めいたします。
>料金
地域によって差があるので、ここでは算定が出来ません。
お住まいの市区町村のHPで25年度になりますが確認出来るかと思います。
大体の地域では26年度の保険料率すら決まっていないので
まだ正式な金額は出せないでしょう。
>世帯主の扶養
#3さんも仰る通り、国保に扶養という概念はありません。
お父様と世帯が同じならば「世帯員」という形で
お父様の国保に追加して加入は出来ます。
但し、保険料はあなたではなく世帯主であるお父様に請求されます。
なお、4月中に国保を脱退するということであればあなたの分の保険料は発生しません(同月内に国保の加入脱退が行われれば保険料は発生しないので)。