離婚により扶養から外れるので、
社会保険の資格喪失証明書は、離婚届受理後になります。
離婚したことを会社に届けるためには、
離婚したことの記載された戸籍謄本か離婚の受理証明書が必要なのではないでしょうか？
その届出をしたとして、当日に会社が資格喪失証明書を出してくれるかは会社によります。
そして、国民健康保険は、社会保険の資格を喪失した日から加入することになっていますので、
今月か来月か選べるわけではなく、離婚届受理が成立して資格を喪失したら、その月から国民健康保険料がかかることになります。（日割りではありません）
届出を故意に遅らせても、国民健康保険証を作った時点からさかのぼって請求されます。
さて、戸籍や住民票の作成日ですが、少々複雑です。
離婚届を提出する自治体は、旧本籍地であり、新本籍地であり、かつ異動のない住民登録地ですか？
その場合は数日で全部出来上がるでしょう。
土曜日に持っていくと審査が月曜日以降になるので、数日たってから戸籍担当課に電話で出来上がったか確認しましょう。
それ以外のパターンは戸籍ができあがるまでに２～３週間は覚悟してください。
旧本籍から抹消 → 新戸籍作成 で、自治体をまたげば自治体間の郵便のやり取り分日数が必要になります。
ただし、受理証明書は審査が終わって受理されれば、戸籍が出来ていなくても発行してもらえます。
住所変更はなさいますか？
別の自治体に引っ越すのであれば、転出届をし、新住所の転入届をしなければ、
新住所・新氏名の免許証の手続きはできません。
転出届は郵便でもできますが、転入届は窓口でしかできません。
戸籍の異動を伴う手続きは人それぞれなので、ご質問の内容だけでは的確なお答えができません。
一度、戸籍担当課に電話をなさって、ご自分の場合の手続きがどうなるか
確認なさることをお勧めします。
自治体によっては土日や平日の夜間まで開庁している所があるので、
HPなどでご確認いただくと良いかと思います。
お礼
まさかそんなに日数が掛かるとは思いもしませんでした…。教えて下さりありがとうございました。