既に出ている回答と一部重複しますが，「道路交通法」に次の様にありますので「ベビーカーは歩行者側」で良いと思います。
（定義）
第２条 この法律において、次の各号に掲げる用語の意義は、それぞれ当該各号に定めるところによる。
3の3．自転車道
自転車の通行の用に供するため縁石線又はさくその他これに類する工作物によつて区画された車道の部分をいう。
11．軽車両
自転車、荷車その他人若しくは動物の力により、又は他の車両に牽引され、かつ、レールによらないで運転する車（そり及び牛馬を含む。）であつて、身体障害者用の車いす、歩行補助車等及び小児用の車以外のものをいう。
11の2．自転車
ペダル又はハンド・クランクを用い、かつ、人の力により運転する２輪以上の車（レールにより運転する車を除く。）であつて、身体障害者用の車いす、歩行補助車等及び小児用の車以外のもの（人の力を補うため原動機を用いるものであつて、内閣府令で定める基準に該当するものを含む。）をいう。
つまり，ベビーカーは「自転車」にも「軽車両」にも当たりません。
さらに，第２条３項には次の様にあります。
３ この法律の規定の適用については、次に掲げる者は、歩行者とする。
1．身体障害者用の車いす、歩行補助車等又は小児用の車を通行させている者
これから考えると，ベビーカー（小児用の車）を押している人（通行させている者）は「歩行者」になります。
お礼
まとめてのお礼で申し訳ありませんが、みなさまどうもありがとうございました！ こんなにすばやくたくさんのご返答をいただけてうれしいです。 やっぱり歩行者側でいいんですね。 これで堂々とできます。 すっきりしました！