皆さんのご回答と一部重複します。原因は３点考えられます。
（１）．＃２の方のおっしゃられてるように、ただコックの方向を間違っている。
ＯＮ，ＲＥＳが書いてあるのでその方向にすればいいだけですね。(^◇^) コックの向きがわからないという時は、ＯＦＦにした時にコックの先が向いているほうです。ＯＦＦの９０度反対方向には回らないのですぐおわかりになると思います。
（２）．リザーブにした際、リザーブの道のどこかが詰まっている。
まずヒューエルコックをＯＦＦにして、ヒューエルコックからキャブレターに伸びているゴムのガソリンホースをはずしてください。そして、ＯＮにするとガソリンが流れるか、ＲＥＳにするとガソリンが流れるかを見てみて下さい。それとＯＦＦにした時は、フューエルコックからガソリンが漏れ出ていないかもチェックして下さい。
ＯＮにしたらガソリンは流れるが、ＲＥＳにするとガソリンが流れない場合は、ＲＥＳ側のガソリンが流れる道のどこかが詰まっています。が、ＯＮにしてもＲＥＳにしても流れたり、ＯＦＦにしてもガソリンが流れてしまうような場合は次の（３）に原因を書きます。
ＯＮではガソリンが飛び出るが、ＲＥＳの時はでない場合の対処方法です。
まずガソリンタンクをボディからはずしてください。ガソリンを抜いて下さい。タンクを逆さにして、ヒューエルコックをタンクからはずしてください。ボルト２本で取り付けられているだけですから簡単だと思います。取り外すとストレーナーと呼ばれるフィルターが２本ついていると思います。ほとんどの車種においてこのフィルター部をガソリン注入口から覗き込んでも見えるものではありません。このフィルターに詰まりがないか見て下さい。といいながらここで詰まってガソリンが流れないような事はまずありません。コック部を取り外してください。ネジか何かで止まっていると思います。そこをはずすと、コックの支柱みたいなやつがでてくるのでそこも引っぱってはずします。そうすると周りにＯリングがあって、ＯＮ，ＯＦＦ，ＲＥＳの穴が開いています。そこに何かが詰まっていたら洗浄、エア吹等を行なって詰まりをとります。ＲＥＳの穴からキャブクリーナー等を吹き付けてやってストレイナーの方にストレスなく流れたらＯＫです。で元通りに組み付けてやります。
（３）ヒューエルコックがＯＮの状態で、全てのガソリンが流れてしまって、ＲＥＳにした際、もうすでにガソリンがなくなっている。
ＯＮ側のタンク内のフィルター（パイプ）部分のどこかが裂けていたりしてもこういう事も起こりえますが、一番多いのはフューエルコック内のＯリングかパッキンが劣化してＯＮ、ＯＦＦ、ＲＥＳが効かずにガソリンが流れっぱなしになってしまうケースです。
ＯＮにしてもＲＥＳにしてもＯＦＦにしてもガソリンが出っ放しの時はこれです。
（１）の場合の操作方法の間違いでなければ、（２）のようなこともありえますが、（３）のケースの方が多いかもしれません。
この対象方法は（２）の際の対象方法＋Ｏリングとパッキン交換で直ります。どちらか一方が原因なのですが、劣化の場合、見た目ではなかなかわからない事と両方とも安価なのでＯリング、パッキンとも交換したほうがいいと思います。ＯリングはＯＮ，ＯＦＦ，ＲＥＳの穴が開いているところの周りについています。パッキンはＯＮ，ＯＦＦ，ＲＥＳの穴の表面に張付いています。張付いているといっても軽く押し込んでいるだけです。
文面で書くとわかりにくいですが、そう難しい作業ではないと思いますよ。
修理にチャレンズするか、バイク屋さんまかせにするか貴殿次第ですが、ガソリンパイプをはずして、それぞれの位置（ＯＮ，ＯＦＦ，ＲＥＳ）でガソリンが流れるかどうかはやってみて下さいね。(^^)
お礼
回答ありがとうございます。パイプが折れてるですか？そうかもしれません、調べて見たいと思います、お世話さまです。