3次元凸多面体
3次元凸多面体
3次元凸多面体の頂点と辺をグラフとみなしたとき、これが平面的であることを示せ。
また、3次元凸多面体は必ず三角形、四角形あるいは五角形の面を持つことを示せ。
前半は証明の糸口さえ掴めませんでした。ただ、イメージとしては、例えば立方体はある一面から見ると下図のように平面グラフに出来ますよね?
これを一般的な3次元凸多面体について、言葉として証明することができません。
後半では、正多面体については証明出来たつもりです。以下、その証明です。
[証明]
(前半が証明済みと仮定して)3次元凸多面体の頂点と辺をグラフとみなし、これの平面グラフGを考える。
Gの頂点数をn、辺数をe、面数をf、各頂点の次数をd、各面がk本の辺を境界に持っているとする。
k=3または4または5であることを示せばよい。
次数の総和=辺数*2
⇔nd=2e …(1)
また、
kf=2e …(2)
オイラーの公式より、
2=n-e+f
=2e/d - e +2e/k (∵(1)(2))
⇔1/d + 1/k = 1/2 + 1/m …(3)
式(3)より、明らかにmin(d,k)=3である。
d=3のとき、1/k - 1/6 = 1/m >0よりk=3,4,5
このように証明しましたが、一般の場合にはどうしたらいいでしょうか。どなたか教えてください。
お礼
回答有り難うございます。 このサイトは私も確認して菱形のサイコロは見つかったのですが、 もう一つの一般的な多面体ダイスの形をした物は売っていないんです・・・ 名称は朝鮮サイコロと言うらしいのですが、どこかに売ってないですかね・・・