一人暮らしを始めたからと言って被扶養者でなくなるというわけではありません。
同居していたとしても、被扶養者でない可能性はあります。
被扶養者か否かは、世帯主との関係、ご自身の年齢や所得によります。
自分の置かれた状況が分からないのであればご両親に聞いてみましょう。
さて本題。
仮住まいのような形で一人暮らしをし、住民登録を実家にしたままにしたいのであれば、現状の状態で構わないと思います。
（↑この状態については詳しくないので、別途法律のカテで質問するなり、市役所に相談するなりしてみてください）
きちんと現在の一人暮らしの家で生活しているようにしたいのであれば、【転居届】を提出しましょう。
同一市内であれば、まずは【転居届】の提出のみで大丈夫です。
【印鑑】を持って市役所に行きましょう。
念のため運転免許証やパスポートなどの【本人確認書類】を持って行きましょう。
その際、【住民票】を発行してもらいましょう。
これは、運転免許証の住所変更手続きに必要となります。
次に警察署（免許センター）に行き、運転免許証の住所変更手続きをしましょう。
運転免許証の住所変更さえしておけば、その他の手続きをする際に楽です。身分・住所変更の証明となるので。
ご実家が近いのであればあまり不便はないと思いますが、郵便局への転居届もなるべく早く済ませておいた方が楽だと思います。郵便物を新居へ転送してくれます。
住所変更済みの運転免許証を持って郵便局で手続きをしましょう。
なるべく早く済ませておきたい手続きは以上です。
必要に応じてその他の各機関への届けも済ませましょう。
お礼
詳しい回答ありがとうございます。とても参考になりました。