極大・極小
解説を読んでいて、わからない所が３箇所あるので、教えてください。
＜問題＞
2変数関数f(x1,x2)について、f(x1,x2)が極大あるいは極小になる点を（複数個ある場合はすべて）求めるとともに、そのときの極大値と極小値を求めなさい。この際、2階の条件についても吟味しなさい。
f(x1,x2)=(x1)^3-(x2)^3-3x1+12x2 ((x1,x2)∈Ｒ^2)
＜解説＞
f(x1,x2)=(x1)^3-(x2)^3-3x1+12x2 ((x1,x2)∈Ｒ^2)より
f1(x1,x2)=3(x1)^2-3
f2(x1,x2)=-3(x2)^2+12
である
局所的最適化の必要条件より、fが極大または極小になる点の候補は、1階の条件f1(x1,x2)=f2(x1,x2)=0を満たす点である。
これを満たすのは
ア(x1,x2)=(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)である。
また、fが極大または極小になる点の候補は、それぞれ2階の条件（の一部）＜１＞f11(x1,x2)≦0かつf22(x1,x2)≦0、または＜２＞f11(x1,x2)≧0かつf22(x1,x2)≧0、を満たす点である。
いま、f11(x1,x2)=6x1,f22(x1,x2)=-6x2である。
よって、(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)は、＜１＞と＜２＞のいずれも満たさないので
(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)では極大にも極小にもならない。
いま、f12(x1,x2)=f21(x1,x2)=0である。
イまず、(x1,x2)=(1,-2)について考える。
f11(1,-2)=6>0,f22(1,-2)=12>0,
|f11(1,-2) f12(1,-2)|
|f21(1,-2) f22(1,-2)|=6*12-0*0=72>0
となる。よって局所的最適化の十分条件より
fは(x1,x2)=(1,-2)で極小になり、そのときの極小値はf(1,-2)=-18となる。
ウ次に(x1,x2)=(-1,2)について考える。
f11(-1,2)=-6<0,f22(-1,2)=-12<0,
|f11(-1,2) f12(-1,2)|
|f21(-1,2) f22(-1,2)|=(-6)*(-12)-0*0=72>0
となる。よって、局所的最適化の十分条件の定理より、
fは(x1,x2)=(-1,2)で極大になり、そのときの最大値はf(-1,2)=18となる。
＜わからない箇所＞
(1)
>ア(x1,x2)=(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)である。
この(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)の数字はどこから出てくるのでしょうか？
(2)
>イまず、(x1,x2)=(1,-2)について考える。
>ウ次に(x1,x2)=(-1,2)について考える。
こちらは何故(1,-2)と(-1,2)だけ考えるのでしょうか？これは
>(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)は、(1)と(2)のいずれも満たさないので
>(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)では極大にも極小にもならない。
なので、(1,2)や(-1,-2)は考えなくても良いのでしょうか？
満たしておれば、(1,2)や(-1,-2)も考えなくてはいけない、ということでしょうか？
(3)
解説とは脱線するのですが
問題の
>f(x1,x2)=(x1)^3-(x2)^3-3x1+12x2 ((x1,x2)∈Ｒ^2)
ここの部分が ((x1,x2)∈Ｒ^2)
仮に((x1,x2)∈Ｒ^2++)下にプラスが2か所つくと
意味や答えが違って来るのでしょうか？
この問題とは別に、プラスが2箇所ついているのがあり、どう違うのかがわかりませんでした。
長くなりましたが、わかる方、教えてください。
よろしくお願いします。
お礼
早速ご回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。