クローズドキャプションとは「再生時にオンオフ出来る字幕」の事です。
クローズドキャプション化された字幕データは、映像の隙間にスクランブルされ、映像データと字幕データが同時に存在する状態になりますが「映像データと字幕データは、データが別々」なので、再生時に字幕をオンしたりオフしたり出来ます。
で、DVDビデオの場合、字幕は「透過GIF画像で、絵の上に文字を重ねて表示するのと同様の方法」で、再生時に映像に重ねて表示されます。
HandBrakeで字幕を有効にする場合「映像と字幕をスクランブルして独立して存在させる」と「映像に字幕を焼き込む」の２つがあります。
このうち「映像と字幕をスクランブルして独立して存在させる」のを「Closed Caption」と言います。
HandBrakeの「Closed Captions(text)」の設定のすぐ横の部分に「Burned In」と言うスイッチがあるので、これを適切に設定しましょう（たぶん、３つ並んでるスイッチを、３つとも全部オフにすればOKの筈）
これが適切に設定されてないと「映像と字幕がスクランブルされ独立して存在した動画ファイルになる」ので、Closed Captionを再生できるソフトでなければ、字幕は出ません。
＞再生にはGomPlayerを使用しておりますが、どの様にすれば上手くいきますでしょうか？
GomPlayerは、DVDの再生時であれば「右クリック--->DVD制御--->字幕選択--->字幕再生」で字幕も再生します（映像に字幕を重ねて表示します）
但し、DVDではない「クローズドキャプションが入ったmpeg4ファイル」に対して、上記のGomPlayerの字幕表示設定が有効かは、やってみないと判りません。
なお、HandBrakeで「映像に字幕を焼き込む」ように設定すると、その字幕は「映像の一部」になってしまうので、字幕をオフする事は出来なくなるのでご注意を。
お礼
丁寧な説明ありがとうございます。 どうやら、GomPlayerがclosed captionに未対応だったのが原因の様でした。 i-tuneでclosed cation on設定にしたところ表示されるようになりました。 少々不便ですが、英語字幕を見たいときにはi-tuneを使いたいと思います。 ありがとうございました。