他の回答と異なる回答となります。
サイトでの情報は、情報を得る人の責任で判断する必要がありますので、それぞれの窓口で改めてご確認ください。
質問が健康保険ということですから、年金部分を除いての回答といたします。
また、社会保険の健康保険には、旧政府管掌保険である協会健保以外に業界団体や大きい企業や関連企業による組合健保などもあり、基準などが異なります。協会健保の事業所が多いので、協会健保を中心に社会保険として回答します。
社会保険の健保や国民健康保険は月割であり、日割はありません。
また、保険料が発生するのは、資格取得日が含まれる月の分から資格喪失日（退職日の翌日）の含まれる月の前月までとなります。
したがって、質問者の場合には、６月分の保険料までが社会保険料として健康保険料を納め、７月分は国民健康保険料を納めることになるでしょう。そして、８月分は社会保険料となるでしょう。
基本的に２重となることはありません。しかし、事務手続き上の納付書などから重複して収めてしまうことにもなる場合がありますが、手続きを行うことで還付を受けられることでしょう。
注意点として、国民健康保険料は年間保険料を１０回程度（自治体による）に分割しての納付となりますので、手続きの際には、よく相談して保険料負担しましょう。還付手続きも面倒ですしね。
参考までに、資格喪失日と資格取得日が同月の場合の間の健康保険料（社保⇒国保⇒社保）は、前後健康保険料を納めることで保険料が発生しないこととなると思います。
このようなことから、納付（負担月）のずれと退職月の２か月分を退職の際の給料から負担しなければならないことも多く、負担増に思われることがありますが、その後に加入する保険料がその分軽くなると考えなければなりませんね。
協会健保であれば全国健康保険協会の都道府県支部へ、国民健康保険であれば住所地の役所の窓口などで確認しましょう。
長文失礼しました。
