もしもの話

質問

もしもの話
富士山山頂から地上１０ｋｍ以上、周囲５００ｋｍ以上雲一つない快晴（夜）で、霧もスモッグもない完全に澄み切った状態が奇跡的に発生し、その山頂から大玉花火を打ち上げた場合、いったいどこまで花火は見えるのか？
（個人的には双眼鏡を使えば滋賀県あたりぐらいはイケるのでは・・・と）

回答No.2

kagakusuki

花火を見る事が出来る最長の距離だけ離れて見た場合、開いた花火の上端が地平線の端に辛うじて見えている状態になります。
　つまり、花火の上端を見ている視線は、「花火の上端」と「花火を眺めている人の目」の２点間を、地球をかすめて、直線で結んでいる事になります。

　以下のサイトに拠りますと、掲載されている中で最も大きい30号玉（３尺玉）の場合、打ち上がる高さが約600m、花火が開いた時の直径が約500m位になるそうです。

【参考URL】
　日本の花火 > INDEX > 日本の花火をもっと知りたい > 花火の大きさのいろいろ
　　http://www.japan-fireworks.com/basics/size.html

　そして富士山は、北緯35度21分38.2608秒、東経138度43分38.5153秒にある、高さが3775.63mの山です。

【参考URL】
　富士山 - Wikipedia
　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E5%B1%B1

　従って、富士山の山頂から30号玉を打ち上げると、（地上より空気抵抗が減っている事を無視すれば）花火は高度4400m近くまで上がり、開いた時の花の上端は高度4600m位にまで達するという計算になります。
　この花火の上端が地平線よりも上に見える最長距離を計算で求めれば良い訳です。
　処で、地球は完全な球形ではなく、南北が少し潰れた（扁平率1/298.257222101）、回転楕円体に近い形をしていて、赤道半径が6378137mであるのに対して、極半径は6356752mで、21km以上も差があります。
　それでは富士山のある辺りの緯度では、地球の半径（海抜0mの高さから地球の中心までの距離）はどの位になるかと言いますと、

海抜0mの高さから地球の中心までの距離＝赤道半径÷√(1＋(地球の扁平率×2－地球の扁平率^2)×(sin(緯度の値))^2)＝6378137[m]÷√(1＋((1/298.257222101)×2－1/298.257222101^2)×(sin(35°21′38.2608″))^2)≒6370999[m]

という計算から、富士山近辺の海抜0mの高さから地球の中心までの距離は6370999mである事が求められます。
　計算を簡単にするために、地球が半径6370999mの球形だとして計算します。
　仮に人の目の高さを1.6mとしますと、海抜0mの場所から眺めた場合の、地平線の端に見える地点までの距離は、逆三角関数を使って

地球の半径×arccos(地球の半径÷(目の高さ＋地球の半径))＝6370999[m]×arccos(6370999[m]÷(1.6[m]＋6370999[m]))≒6370999[m]×0.0007087143[rad]≒4515[m]

と求められます。
　同様の計算で花火の上端の高度から見た場合の地平線までの距離は、

地球の半径×arccos(地球の半径÷(花火の上端の高度＋地球の半径))＝6370999[m]×arccos(6370999[m]÷(4600[m]＋6370999[m]))≒6370999[m]×0.03798915[rad]≒242029[m]

と求められます。

　従って、富士山の山頂から30号玉を打ち上げた場合に、途中にある陸地や海の高さが全て海抜0mだとすれば、

4515[m]＋242029[m]＝246544[m]

ですから、約246.5km以内であれば、見る事が出来る計算になります。

お礼

ス、すごい・・・まさかこんな回答が得られるとは
あ有難うございました。

回答No.1

noname#156725

滋賀県は不可能…間に？日本有数の連山が連なるので、見えません。

お礼

そうですよね。確かに・・・回答ありがとうございました。