在来線特急の場合で同一列車内の場合は、途中駅で自由席から指定席へ変わったり、途中駅で指定席から他の指定席に変わったりしても、特急券自体はその特急列車の乗車駅から降車駅まで通しで作ってくれますよ。同一列車で指定席を変わる場合は、(1)金額の入った「○○駅～××駅：特急券」と(2)金額なしの「○○駅～△△駅：指定席券」、(3)金額なしの「△△駅～××駅：指定席券」の３枚セットで作ってくれると思います。在来線の特急列車の場合は、同一列車又は併結列車でないとこの扱いはできなく、一旦途中駅で下車して後続の特急に乗る場合はその駅で特急券自体が分かれてしまい、割高になることが多いです。ところが、新幹線の場合は在来線との乗り換え改札を出ることなく、新幹線ホーム内で他の後続列車と乗り継いでも１枚の特急券として扱ってくれ、金額なしの指定席券のみ複数列車分作ってくれますよ。
同一列車内で、好き好んで指定席を移動する場合は稀ですが、多客期で通しで指定席が取れないときよく使う技です。「東京～博多」の指定席を聞いて満席と言われたら、例えば「東京～新大阪」で空席のある列車を探してもらい、さらにその列車の「新大阪～博多」を聞くと取れることがあります。このように、東京～博多間同じ席で取れなくても、席を移動すると取れることが多いので、多客期に１人で指定席を取る時に「満席」と言われても、あきらめず区間を分けて移動しながらなら結構取れますよ。料金的にも通しの場合と同額です。
補足
詳しい説明ありがとうございます。 では、例えばムーンライトながらなどの快速でも指定席の移動は可能ですか？ また、寝台特急などで寝台の移動をすることもできるのでしょうか？