まず「遠隔地交付」は、あくまで扶養家族が特別な事情（たとえば就学のため、長期出張・旅行など）により別の場所に住まないといけない場合にのみ交付されるものであることをご理解下さい。
２通り考えられます。
１)「現在」お父様が加入している健康保険は「国民健康保険」である。
この場合は、元々「扶養という概念」がありません。つまりご質問者の分の保険料がしっかり請求されていたと言うことです。
従って、転出届により別世帯となると、自動的に独自に「国民健康保険」又は「勤務先の社会保険」に加入する必要があります。
ただ、自分の子供が就学のためであれば学生用の遠隔地交付を受けられます。
しかし、ご質問者のような学生でない場合は、まず認められないと思って下さい。
このほかはお父様自身が仕事の都合で家族を残して一時的に転居する場合、長期の出張に行くなどでは認められることがあります。
２）お父様が共済の健康保険に任意継続している場合。
この場合は扶養という概念があります（つまり保険料はそのままでご質問者も加入できる）。
この健康保険の任意継続の場合、学生であれば簡単に遠隔地交付を受けられますが、学生ではなく且つ住居が別の場合は、実体としてお父様がご質問者を扶養しているのかどうかが問題となります。基本的には収入の基準と、仕送りの有無、またその金額が生活するのに必要な主な収入となっているかどうかなどです。
さて、ご質問者の場合どちらなのかが不明ですが、役所に提出する転居届で自動的にということであれば、１に該当していると思われます。２の場合、健康保険に被扶養者の異動届を出さない限り健康保険の方ではすぐにわからないからです。
対応としては、１であれば、転居先で国民健康保険に加入する以外に方法はありません。２の場合は扶養扱いに出来ないかどうかを共済の健康保険に直接相談することになります。ダメであればやはり国民健康保険に加入が必要です。
お礼
ありがとうございました。 私の場合、やはり国民健康保険に加入する必要があるようです。