＞一曲の中に休みが全然ない曲を吹くと息苦しくなって途中で止まってしまいます
唇の疲労ではなく、息が苦しくなるのですね？
実際に見てみないと確実なことは言えませんが、考えられるのは
・吸い方が不十分
・吹いている（吐く）ときに不要な部分に力が入っている
・息がなくなってきたときに無意識にのどが閉まり十分な息が吸えていない（休みがある曲とは変わってしまう）
あたりかなと感じます。
ただし、仮に上記のことが当てはまる場合でも、直接そうしないように意識しただけでは問題は解決しません。
まず、普段の練習方法を見つめなおして下さい。
発音に関する練習は「欠かさず」「意識して」行っていますか？
毎日の練習メニューの中で「ウォーミングアップ」「ロングトーン」「音階」「リップスラー」など基本的な事柄を行うとき
・よい姿勢
・出す音に適したアンブシュア（極力力を入れない、息の通り道が唇にあるイメージを持つ、力任せに震わせようとしない、etc）
・呼吸を意識する（吸う・吐くの量・タイミングは自分の意識を常に働かせる、腹式呼吸を理解する、吸った息でどこまで吹くのか考えながら演奏する）
といったことをやっているかどうかでかなり違います。
常に基礎練習を大切にして実行してください。
一度、その苦しくなる曲を、「音を出さずに」自分一人で吹いてみてください。
それでも同じように苦しくなるようなら、もともと呼吸の仕方がきちんとはできていない可能性を感じます。
苦しくならないのなら「音を出したとき」だけ体やのどにいらない力みや緊張が入っているのかもしれません。
