すべて網羅できていないと思いますが。
とりあえず不動産屋で家探して引っ越せばいいだけです。
家探し。
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いいところがあったら契約。
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引越しの準備。
まずは大家さんにいつ引っ越すか話をしときます。
引越し屋さんを使うのであれば引越し屋さんにも話しをつけます。
あとはやる人やらない人いますが、今いる場所の役所で住民票の移すことの手続きと新しい場所の役所での住民票の手続きをします。
住民票の新しいものができたら、免許証の住所を変えるために警察署(新しい場所の)で手続きをします。
あとは大体は大家さんがしてくれると思いますが、電気・ガス・水道が通ってなかったら自分で電話してつないでもらってください。これは大家さんに確認とっといたほうがいいです。
あと、新しい部屋に目立つ傷があるときは引っ越す前からあるということを大家さんにちゃんと伝えておくなり、写真とっとくなりしといたほうがいいかもしれないです。