>パソコンを新しく買い換えて、インターネットをはじめようとしたら接続の解約などしてまた新しく契約しないといけないでしょうか?
そうですね、結論から言えばその必要はありません。
今現在、質問者様もどこかのプロバイダ(ヤフーなど)と契約して、モデムと呼ばれる機器をレンタルされていると思います。PCの購入とインターネットへの接続は別個の問題ですので、インターネットを利用する為の機器が手元にあれば、PCの買い替えを行ったからといって、その機器までプロバイダに返却する必要はありませんよね?
ですから、レンタルされている機器はそのままで、PCを買い替えれば事は足ります。
新規でPCを購入してきた後、モデムとPCを接続設定すればいいだけです。契約がADSLの場合で、PCが有線接続(LANケーブルで直接、モデムとPCが繋がっている)されているのであれば、LANケーブルの差し替えを行えばいいだけですし、無線接続を利用しているのであれば、同様の設定を新規購入したPCで行うだけです。
インターネットへの接続は友人に頼まれたということですので、無線接続の場合であればその友人に再度、接続設定してもらい、有線接続の場合であればご自身で行っては如何でしょうか?
※無線LANを使用しているのであれば、セキュリティ設定などは極力、質問者様ご自身で行われた方がいいかと思います。