シルベスターの定理を予期させるようなR^3の基底を求めよ
Slyvester'sの定理
「Let V be a finite dimensional vecor space over R,with a scalar
product. There exists an interger r≧0 having the following property. If
{v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis of V, then there are precisely r
integers i such that <v_i,v_i>>0」
[Q] Let A be the real matrix
1,3,5
3,0,-2
5,-2,-3
(1) Determine the bilinear form associated to A(as a polynomial).
(2) Find the basis of R^3 predicted by Sylvester's theorem.
(3) What is the nullity of this bilinear form on R^3?
と言う問題です。
nullityの定義は
「Vを有限次元線形空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交基底とする時,
V_0:={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>=0}(但し,<,>はスカラー積)をVのnullityという」だと思います。
スカラー積の定義は
「<,>:V×V→Fに対して
(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>, (iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ
<u,cv>=c<u,v> が成り立つ時,<,>をスカラー積と呼ぶ」
です。
(1)については (tは転置行列を表す)
(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)
=x_1x_2+3x_2y_1+5x_2z_1+3x_1y_2-2y_2z_1+5x_1z_2-2y_1z_2-z_1z_2…(1).
と展開すればいいだけのことだと思います。
(2)については意味が分かりません。
Sylvesterの定理を予期するR^3の基底を見つけよ。
一体,何をすればいいでしょうか?
(3)については
まず(1)を満たすような(つまり(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)=0を満たすような)
R^3の直交基底を見つけなければならないと思いますがどうやって見つければいいのでしょうか?
