私が住んでいるところも数ヶ月前に合併で住所表記が変わりました。
配達する郵便局も宅配業者も地元ですから、合併のことは知っています。ということで、当分、旧住所のままでも問題ありません。
また、公的年金保険、運転免許証など、多くは何も手続きは必要ありません。ものによっては数ヶ月かかりますが、順次自動的に手続きが行われます。
ただし、郵便貯金口座に関しては、もよりの郵便局で郵便貯金通帳の更新手続きが必要になります。（これも、急いでやらなければならないというものではないので、通帳がいっぱいになって、次に更新が必要になったときでいいでしょう）
役所関係の手続きについては、合併前後に市町村の広報やホームページに、必要な手続き、不用な手続きが発表されると思います。
おおむね、個人に関しては手続き不用ですが、会社などの業者に関しては、営業許可や法人登録等、各種届け出の変更が必要になるようです。
それから、民間の金融機関（銀行、生命保険会社）、あるいは有料放送の視聴契約、プロバイダ等に関しては、各金融機関や放送業者に電話して問い合わせたところ、自動的に手続きしてくれたところ、こちらから申し込まなければならないところ、まちまちでした。
まずは、住所変更から2,3ヶ月様子を見て、請求書等の郵便物の宛先の住所が更新されているかどうか確認し、もし、更新されていないものがあれば問い合わせ先に電話して「合併で住所が変わったが、手続きは必要か？」と問い合わせてみればいいでしょう。
まぁ、あせることはないと思います。
