先の回答に被る部分も多くありますが…
アクティブタイプの物は、ギターないしベース本体にアクティブサーキットを内蔵していて、その回路内でピックアップが伝える信号を加工してからアンプに送り出す機構を持つものです。 対して、パッシブタイプはそうしたアクティブサーキットを持たず、ピックアップの信号をほぼそのままアンプに送り出す構造になっています。
アクティブサーキット内では、信号をローインピーダンス化してシールド内でのノイズの混入を低減したり、イコライザーを内蔵していて特定の周波数帯のカット・ブーストが可能だったりします。 また、アクティブサーキットで事前に信号を増幅することを見込んで、ピックアップの出力を抑え、ピックアップが拾うハムノイズなども低減することを狙ったものもあります。 アクティブタイプの物は、パッシブタイプの物に比べて、ノイズに強く、ギター本体のみでの機構的な音作りの幅が広いのが特徴といえると思います。 なお、ご指摘の通り、アクティブサーキットを稼動させるには、バッテリーが必要です。
一方、パッシブタイプはボリュームやトーンコントロールなど、抵抗のみでできている加工部しかありませんし、出力もハイインピーダンスでノイズの面でも不利があります。 ただ、アクティブの物は音質を加工してしまう分、その回路の癖が出やすいのに対し、パッシブのものはそうした要素がなく、弾いた時の指先のニュアンスなど、弦の鳴りのニュアンスを比較的忠実にアンプに伝えるとみられる部分があり、必ずしもアクティブがパッシブより良質とは言い切れない部分もあります。
参考まで。