犬…ってことで会ってますよね？多分…
私は、犬を飼っている経験から書かせてもらいます。
うちの犬も、まだ小さかった頃そういう時期がありました。
apple613さんのご推察どおり、寂しさからのストレス…というか、かまってほしいというサインだったように記憶してます。誰も見てない時にトイレ以外のところでおしっこ・うんちをしてしまう（うんちに至っては放置しておくとそのまま食べてしまう）のです。
こんな場合、叱ってはいけない…と記憶してます。これを叱ってしまうと、排泄そのものを叱られたと勘違いしてしまい、隠れておしっこしてしまう…というような悪循環になってしまうのです。
あ、ハウス（ゲージ？）は作ってますか？
うちの家では、犬のいる部屋にハウスを作って、外出するときはそのなかに入れて施錠するようにしてます。うちの犬のハウスはフェンスのようなもので四方を区切った（天井なし）だけのもので、とにかくワンちゃんが外に出れないような作りであればＯＫだと思います。
ハウスのなかにトイレがあるので、したい時はそのなかでできる…ということです。
当時読んだ本には、トイレだけ置いた状態の部屋に犬を放置しておくと、犬は『いつでも』排泄をしてもいいんだ…と判断してしまうそうなのです。ハウスのなかにトイレを設置することで、トイレが近いのでそこでするようになる…という寸法です。
ということで、
・外出時はハウスに入れてしまう
・ハウスの外で粗相をしてしまっても叱らずに処理する
・粗相しないよう、家にいる間は注意を払う
ということが大事なのではないでしょうか。
あとカーペットの消臭方法ですが、専用のにおい消しスプレーがペットショップなんかに売ってたりします。これを使うときは、ワンちゃんを別室に入れるなどして『ワンちゃんが見れない状態で』使うのがポイントです。
参考になれば幸いですが、心配なら躾（しつけ）教室などで相談するのも良いかと思います。大変だと思いますが、頑張ってください☆
