自動車保険の名義を換えて等級を引き継ぐためにはいくつか条件があり、その保険が掛けられているクルマを配偶者や同居親族に譲渡した場合は等級を引き継いで自動車保険の名義を変更できます。
なので親から子供へ自動車保険の等級を引き継いで名義変更する場合は同居している(同じ住所である)事が条件であり、それは保険開始日では無く名義変更する時点で同居している必要があります。
また、単純に自動車保険の名義だけを移すことは出来ず、原則としてその保険を掛けたクルマの譲渡を伴う必要があります。
なので親の等級を引き継いで自動車保険の名義を変えたければ、まず住民票を実家に戻し、クルマを買って記名被保険者を親御さんの名義として既存の自動車保険の車両入替手続を行い、親御さんのクルマは別途新規で自動車保険を契約(2台目として)したうえで、新たに購入したクルマを質問者さんへ譲渡したこととして車両と自動車保険の名義変更をし、その後質問者さんの住民票を戻し居住地で車庫証明を取得しクルマの住所変更を行う必要があります。
補足
親のセカンドカー登録で私が記名被保険者にすれば大丈夫ってことですか?