他の回答にもあるように、在来線の駅で「精算所」が独立して機能している駅はほとんどありません。(新幹線の駅でも小駅を中心に精算所のない駅、「精算所」はあるけど、実際は有人改札で対応している駅が多くなっています。)
で、精算所のない駅や、精算所があっても営業していない場合の対応は以下の通りになります。
・有人改札や自動精算機があれば、そこで対応する。
・駅員がいなかったり、精算機等の機器で対応できない場合は、車内で対応する旨の案内があるはずなので、車内で精算する。(車掌がいる場合は下車時に車掌が対応する)
・駅で降りてから無人に気付き、精算機等で対応できない場合は、当該駅に掲示されている連絡先に連絡し対応してもらう。(自動改札対応駅では、インタホーンなどで直接連絡できる場合もあり、その場合はそれで連絡して精算金額等を払えば自動改札を操作してもらって出るという対応もある)
1.おそらく精算所はなく、自動精算機での対応になると思います。
精算機がなかったり、精算機で対応できない場合は、上記の一般論を参考にしてください。
2.古川駅も1と同様です。なお、精算所がわざわざ機能している場合、通常は駅員の配置されている時間帯で対応されていると思いますが、駅によっては、一部時間帯のみ有人改札のみの対応となる場合もあります。いずれにせよ、現地(の表示)、ネット等(駅施設の営業時間の案内等)で精算所の営業時間を詳細に案内しているケースを見たことがありません。
補足
そうなんですか……。古川には精算所ある記憶だったんですが。質問にはかいていませんが仮に改札のない有人窓口、いわゆる無人駅だった場合はどうするのでしょうか?