WiMAXルータは正常と思われます。
端末の方は何をお使いですか? スマホやタブレットですか? ノートパソコン等ですか?
Androidスマホだと、パスワードのかかってない無線アクセスポイントを「オープンネットワーク」と呼んだりします。
そして、初期状態では、そのパス無しネットワークを見つけると、「接続しますか?」と聞いてきて、1タップで接続できるようになっています。
しかし、パス無しでつながるWi-Fiというと例えば、FON_FREE_INTERNET だったり、0001softbankといったものがありますが、これは無線LAN接続した後、会員認証しなければインターネットに繋がりません。
しかし会員ではないから、インターネットに繋がらず、『無線LANには接続したが回線が切れている』という状態になってしまいます。
ですのでおそらく、近くにそういう(パス無し)アクセスポイントがあって、うっかり一度「接続」してしまったものと思われます。(一度接続してしまうと、そのアクセスポイント名を見つけた時にまた自動接続してしまいます)
すると、何かの拍子でWiMAXルータの方の電波が弱くなった時、そちらに切り替わってしまい、WiMAXルータが復活しても、今度はそのパス無しアクセスポイントが見えなくなるまで、WiMAXルータの方に接続しに行ってくれないというわけです。
ですから、端末のWi-Fi接続画面で、単にWiMAX電波に接続しなおすのではなく、不要なアクセスポイント接続を表示し、明示的に「ネットワークから切断」とすること。
そしてできれば、そのような迷惑Wi-Fiに繋げに行かないよう、「オープンネットワークの通知」をオフにすること。
この両方をやるとよいと思います。(ご利用の機種名を教えてもらえれば、もう少し具体的に解説できますが。)
補足
機種はノートパソコンです。 SSIDは同じなので別のアクセスポイントというよりセキュリティだけ無くなってしまう感じです。 ネット接続が切れた後回線を検索すると自分のSSIDが「セキュリティ保護有り」から「オープン」に変わっています。