＞隣の市から、引越しをしました。
という事は、引越しの日から（法律で決まっている）２週間以内で住民票の転入・転出手続きを行ったのですね。
＞前の市役所から、軽自動車の住所を変更しないとこちらの市から税金を徴収する事になる。四月一日までに軽自動車協会で変更して下さい。
自動車税は、４月１日時点の登録している住所地の所有者名義に対して請求を行います。
移転前の市役所としては、住民票を移転していても「軽自動車の変更をしていない」ので事前連絡（事務的なもの）を行なっただけです。
軽自動車に関係なく、普通車の自動車税でも「ナンバー変更をしないで、他都道府県に引っ越す」場合が多いのです。
転勤族なんか、住民票は移転しても「自動車の登録は、そのまま」と言う場合が多いのです。
質問者さまも見た事があると思いますが、引っ越してきた方の自動車ナンバーが他都道府県のまま！という場合がありますよね。
これは、自動車税の住所変更をしただけで「車検証の住所などは、一切変更していない」のです。
都道府県税事務所でも「納付書の宛先変更」を伝えて下さいとの対応です。
（都道府県は、市町村と異なり住民票データを持っていません）
＞もし、前の市に払った場合困る事はありますか？
質問者さまにとっては、何ら不利益はありません。
移転前の市役所にとっても、税収確保の面で喜ばしい事です。
ただ、移転後の市役所にとっては「税収が確保できなかった」と悲しみますね。
＞八月に保険の更新があります。
保険は、自動車本体にかかっています。
契約書の住所・氏名が異なっていても「車体番号が合致」していれば保険は下ります。
（保険契約者でない者が運転・事故を起こしても、補償を受ける事が出来ますよね）
そもそも、車検証の住所が変更になっていなければ保険証書の住所も変更出来ません。
が、連絡先住所（電話番号）の変更は行なった方が良いですよ。
任意保険更新時の「継続案内」が、届かなくなる場合があります。
お礼
詳しくありがとうございます！ 出産を控えてる為、遠出もできず代行も高いし困ってました。 任意保険だけ、住所の届けを出しておきます！