＃１の方の回答にもあるように、退職してから１４日以内に手続を行うのが原則となっています。
国民健康保険料については、退職日の翌日が所属する月分の保険料から支払うこととなります。
＃１の方の場合は、社会保険料というのは前月分を今月支払うようになっています。
例えば１０月１５日に退職しても、１０月末には９月分の社会保険料が会社の口座から引き落とされる関係から、１０月の分の給料から９月分の社会保険料を差し引いている会社が多いですね。
ですので、１０月分の保険料は国民健康保険料として支払っていると思いますよ。
国民健康保険に加入するには、お住まいの市区町村の国民健康保険の窓口に「資格喪失証明書」または、「資格喪失確認通知書」のコピーと、印鑑及び身分を証明できるもの（運転免許証など）を持参し、（市区町村によっては所得証明書も必要です。）手続をされてください。
あと、社会保険の任意継続の制度はご存知でしょうか？
国民健康保険か社会保険の任意継続をされるかのいずれかの方法をとることとなりますので、保険料の安い方を選択されたほうが良いですよ。
任意継続とは今までの社会保険の資格を、会社と折半していた健康保険料をあなたが全額負担して、健康保険を最大２年間、継続すると言う制度です。
この健康保険料には上限があり、社会保険事務所の健康保険の場合は月額２２，９６０円（４０歳以上６５歳未満の方は、介護保険料が月額２，４９２円プラスされます。）となっています。健康保険組合の健康保険であった場合は、健康保険組合によって上限も保険料率も異なっているので、その健康保険組合にお問い合わせください。
ちなみに、任意継続は２年間やめることができません。
やめる場合は次の条件が必要となります。
１．新たに会社に就職し社会保険の健康保険に加入する
２．期日までに保険料の納付ができなかった場合。
３．死亡した場合。
となっていて、「１．」の場合は新しい健康保険証に記載されている「資格取得年月日」と同日に任意継続の資格を喪失することとなります。
また、「２．」の場合は納付期日の翌日を持って、任意継続の資格が自動的に喪失します。
「３．」については、説明する必要もないですね。
なお、国民健康保険にしろ任意継続にしろ、国民年金にも加入しなければなりませんので、市区町村の国民年金の窓口に、上記の国民健康保険の手続と同様の書類を持参し手続をされてください。なお、国民年金の保険料は月額１３，３００円です。
お礼
大変詳しく書いていただいてありがとうございました。