線形写像の問題(基本)おしえてください!
大学一回生です。線形写像(超基礎です…)について教えてください!
問題
「線形写像F:R^4→R^3 , F(x)=Axを考える。ただし
A[p1 p2 p3 p4] (p1~p4は列ベクトル) p1=[1 -3 2] , p2=[-2 7 -5] p3=[0 -1 1] p4=[2 -9 7]
(1)k=dim(KerF)とするとき、核KerFの(一つの)基底b1,b2,......,bkを求めよ
(2)この基底を延長したR4の基底b1,b2,b3,b4を作り、F(bk+1),...,F(b4)が、ImFの基底であることを示せ。 」
(1)は解けてb1=[2 1 1 0] b2=[4 3 0 1]
わからないのは(2)なのですが…
b1,b2にe1,e2を追加した4個のベクトル
b1=[2 1 1 0] b2=[4 3 0 1] b3=[1 0 0 0] b4=[0 1 0 0]でこれがR^4の基底であることを証明してそのあと・・・
模範解答では
「ImFは、標準基底の像
a1=F(e2) a2=F(e2) a3=F(e3) a4=F(e4)
によって生成される。a1,a2は一次独立、したがって、a1=F(e1)=F(b3),a2=F(e2)=F(b4)は、ImFの基底である。」
となっているのですが
k=dim(KerF)=4-rankA=4-2=2なので
bk+1=b3だから
F(b3),F(b4)が、ImFの基底であることを示せば良いだけだと思うのですが、なぜ模範解答では「標準基底の像
a1=F(e2) a2=F(e2) a3=F(e3) a4=F(e4)・・・」などとおいているのでしょうか??
わたしの解き方では不十分でしょうか?
とてもアホみたいな質問をしているかもしれません…申し訳ありませんがどなたか教えていただけると嬉しいです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 大変分かり易く説明していただき感謝します。 #、♭がつかない=全?と勝手に勘違いしていました。