折り返しの問題(途中から分からない)
問題を解いていたのですが(2)が難しすぎて分かりません。
問題は、
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5以上の自然数nに対して、1からnまでのn個の自然数を1列に並べて、
順列 a1,a2,a3,・・・,an
を作る。ai(2≦i≦n-1)が
a(i-1)<ai>a(i+1) または a(i-1)>ai<a(i+1)
※a(i+1)は"+1"が"i"に対してかかるという意味です
を満たす時、aiは「折り返しにある」というものとする。
ただし、a1,anは折り返しに無いものとする。
(1)折り返しにある数がnのみの1個であるような順列a1,a2,・・・,anは何通りあるか。
(2)折り返しにある数がnと他に1個の合計2個であるような順列a1,a2,・・・,anは何通りあるか。
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これで(1)は以下の様に記述しました。
(1)
nは両端を除いてn-2の中から1箇所に位置するので
(n-2)C(1) (Cは選択する場合の数を調べる記号)
nより左はi-1個並べられ、選んだ数は右から大きい順に1通りに並べるので、
(n-1)C(i-1)
nより右は上の余りで、選んだ数は左から大きい順に1通りに並べるので、
1
よってiを含めた通りの数は
(n-2)C(1)*(n-1)C(i-1)*1
=(n-1)C(i-1)*(n-2)
i は2からn-1まで変化するので、(n-1)C(i-1)からiをはずすと、
Σ[i=2→n-1](n-1)C(i-1)
=(n-1)C(1)+(n-1)C(2)+(n-1)C(3)+・・・・+(n-1)C(n-2)
ここで、2項定理の
2^(n-1)=(1+1)^(n-1)=Σ[k=0→n-1](n-1)C(k) を利用して、
Σ[i=2→n-1](n-1)C(i-1)
=2^(n-1)-(n-1)C(0)-(n-1)C(n-1)
=2^(n-1)-2
よって求める値は (n-1){2^(n-1)-2} (答え)
(2)
nは両端を除いてn-2の中から1箇所に位置するので、
(n-2)C(1)=(n-2)
これ以降の2つの折り返しの求め方が解けません。
どのように場合分けをするのか、分かる方宜しくお願いします。
お礼
ご回答大変有り難う御座いました。感謝致します。