ご質問の曲は、No.1の方のお答どおり、パガニーニ作曲「24の奇想曲(カプリース)」作品1の第24曲目ですね。
「パガニーニの~」については、特にパガニーニに限ったわけではなく、誰か他人の曲あるいは民謡などのメロディを借用して曲を作ったときに付けるタイトル、ということと思います。(「パガニーニの~」は、「パガニーニの主題による~」とか「パガニーニの主題に基づく~」ということですね)
作曲や演奏の腕前を披露するのに、他人の有名な曲や有名な民謡のメロディを借りて、それをどう料理するかを見せることは、元のメロディを知っている人には効果抜群ですよね。どう加工したか、上手いか下手かがすぐ分かってしまうので。特に、その場でメロディを指定してもらって即興演奏するのは、モーツァルトやベートーベンは得意としていたようです。バッハの「音楽の捧げもの」も、そういった即興演奏を楽譜に書きおろして献呈したものですね。(お笑い芸人が、その場で「お題」をもらって即興でネタを披露するようなものですね)
他人の曲を借りて、自分の作曲や演奏の腕前を披露するので、「~」は「変奏曲」であることが多いようです。
有名なところでは、
・モーツアルト作曲「フランスの歌曲『ああ、お母さん、あなたに申しましょう』による12の変奏曲」K.265(きらきら星変奏曲)(ピアノ独奏曲)
・ベートーベン作曲「ディアベリのワルツの主題による33の変奏曲」作品120(ディアベリ変奏曲)(ピアノ独奏曲)
・ブラームス作曲「ハイドンの主題による変奏曲」作品56b (管弦楽曲)
・ショスタコーヴィチ作曲「ロシアとキルギスの主題による序曲」作品115 (管弦楽曲)
などがあります。ほとんどの作曲家が、多かれ少なかれ、この手の曲を作曲していると思います。
お礼
聴いてみます!